Question

integrate (x ^ 3 * cos x/2 + 1/2) * sqrt(4 - x ^ 2) dx from - 2 to 2​

Answer 1

Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Mari kita terapkan integrasi pada fungsi yang diberikan:

∫[dari -2 hingga 2] (x^3 * cos(x/2) + 1/2) * sqrt(4 - x^2) dx

Pertama, kita akan mengintegralkan bagian (x^3 * cos(x/2)) * sqrt(4 - x^2):

Kita dapat menerapkan integrasi berdasarkan bagian, dengan u = x^3 dan dv = cos(x/2) * sqrt(4 - x^2) dx:

du = 3x^2 dx

v = ∫ cos(x/2) * sqrt(4 - x^2) dx

Mengintegralkan v membutuhkan substitusi u = 4 - x^2, yang menghasilkan du = -2x dx:

v = -2 * ∫ cos(x/2) * sqrt(u) du

= -2 * ∫ cos(x/2) * u^(1/2) du

Mengintegrasikan ekspresi di atas, kita dapatkan:

v = -4 * (u^(3/2) * sin(x/2) - (3/2) * ∫ sin(x/2) * u^(1/2) dx)

Selanjutnya, kita mengganti kembali u = 4 - x^2 dan menyederhanakan ekspresi tersebut:

v = -4 * ((4 - x^2)^(3/2) * sin(x/2) - (3/2) * ∫ sin(x/2) * (4 - x^2)^(1/2) dx)

Kemudian, kita mengintegralkan bagian (1/2) * sqrt(4 - x^2):

Kita dapat menggunakan substitusi trigonometri x = 2sinθ:

dx = 2cosθ dθ

sqrt(4 - x^2) = sqrt(4 - 4sin^2θ) = 2cosθ

Integral menjadi:

∫[dari -π/2 hingga π/2] (1/2) * 2cos^2θ * 2cosθ dθ

= 2 * ∫[dari -π/2 hingga π/2] cos^3θ dθ

Dengan menggunakan rumus reduksi untuk cos^nθ, dengan n adalah bilangan bulat positif:

∫ cos^nθ dθ = (1/n) * sinθ * cos^(n-1)θ + ((n-1)/n) * ∫ cos^(n-2)θ dθ

Dengan menerapkan rumus reduksi, kita dapatkan:

2 * ∫[dari -π/2 hingga π/2] cos^3θ dθ

= 2 * [(1/3) * sinθ * cos^2θ + (2/3) * ∫ cosθ dθ]

= 2 * [(1/3) * sinθ * cos^2θ + (2/3) * sinθ] + C

Kemudian, kita kembalikan substitusi θ = arcsin(x/2):

= 2 * [(1/3) * (x/2) * (4 - x^2/4) + (2/3) * (x/2)] + C

= (2/3) * (x * (4 - x^2/4) + 2x) + C

= (2/3) * (4x - (x^3/4) + 2x) + C

= (2/3) * (6x - x^3/4) + C

= (4x - x^3/6) + C

Akhirnya, kita dapat menghitung integral tentu dengan memasukkan batas-batas integrasi dari -2 hingga 2:

∫[dari -2 hingga 2] (x^3 * cos(x/2) + 1/2) * sqrt(4 - x^2) dx

= [(4x - x^3/6) + C] [dari -2 hingga 2]

= [(4(2) - (2)^3/6) - (4(-2) - (-2)^3/6)]

= [(8 - 8/6) - (-8 - 8/6)]

= [8/6 + 8/6]

= 16/6

= 8/3

Jadi, hasil integralnya adalah 8/3.

SEMOGA MEMBANTU