Question

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 81/2. Podstawa tego graniastosłupa jest opisana na okręgu na promieniu długości pierwiastek z 3. Oblicz pole powierzchni bocznej.

Answer 1

Odpowiedź:

Pole powierzchni bocznej wynosi  Pb = 27√3

Szczegółowe wyjaśnienie:

(ilustracja graficzna do pola podstawy - załącznik)

Dane:  

Objętość V = 81/2,  

promień okręgu wpisanego w trójkąt  równoboczny    r = √3

Obliczyć:  Pole powierzchni bocznej ?

Użycie w nazwie graniastosłupa  "prawidłowego trójkątnego"  oznacza,

że podstawą graniastosłupa jest  trójkąt równoboczny.

W trójkącie równobocznym o wysokości   h długość promienia okręgu

opisanego na tym trójkącie, jest równa R = (2/3)h,  a promień okręgu

wpisanego w ten trójkąt (= trójkąta opisanego na okręgu) jest równy

r = (1/3)h (środek okręgu wpisanego w trójkąt leży na wysokości (1/3)h)

ponieważ środek (ortocentrum trójkąta - punkt przecięcia się

wysokości trójkąta) dzieli wysokość trójkąta na odcinki:

R : r = 2 : 1  =  (2/3)h :  (1/3)h    to    R = 2r

to

r  =  (1/3)h = √3   /* 3     to   h = 3√3

oraz:, wysokość trójkąta równobocznego o boku  a,   h = (a√3)/2

to

(a√3)/2  = 3√3   /: √3   to    a/2 = 3   /* 2   to   bok trójkąta   a = 6

to

Pole trójkąta (podstawy graniastosłu×pa  Pp) =

= ((podstawa  a) * (wysokość  h))/2,    to    Pp = a * h/2 = (6 * 3√3)/2

to     Pp = (18√3)/2 = 9√3   Sprawdzenie: P = a²(√3)/4 = 6²(√3)/4 = 9√3

Objętość  V = Pp * H  = (9√3) * H = 81/2    /* 2       to  

(18√3) * H = 81   /:  (18√3)    to  H = 81/(18√3) =  9/(2√3)

to

Pole powierzchni bocznej  Pb (trzy ściany boczne o wymiarze  a × H)

Pb = 3 * 6 * 9/(2√3) = 81/√3 = 81√3/√3 *√3  = 81(√3)/3  = 27√3

[w ostatnim działaniu usunięto niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez √3 ]

To Odpowiedź:

Pole powierzchni bocznej wynosi  Pb = 27√3