Question

Podstawą trapezu ABCD jest odcinek o końcach A(-6,-2) i B(1,5). Trapez ten jest wpisany w okrąg o środku S(-2,1) leżącym w odległości (5√2)/2 od prostej równoległej do podstawy AB. Oblicz pole tego trapezu.

Answer 1

Verified answer

Odpowiedź:

A(-6, - 2)      B( 1, 5)                  S(-2, 1)

więc

a = [tex]\frac{5 - (-2)}{1 - (- 6)} = \frac{7}{7} = 1[/tex]

Prosta AB:

y = a x + b = x + b              B( 1, 5)

więc

5 = 1 + b    ⇒  b = 4

y = x + 4     lub    x - y + 4 = 0

-----------------------------------------

Prosta   CD

y = x + b     lub   x - y + b = 0

Ta prosta jest odległa od   S ( - 2, 1)    o     d =  [tex]\frac{5\sqrt{2} }{2}[/tex] = 2,5√2

więc

I  1*(-2) - 1* 1 + b I  : [tex]\sqrt{1^2 + (-1)^2}[/tex]   =  I  b - 3 I : [tex]\sqrt{2} = 2,5\sqrt{2}[/tex]  /*√2

I b - 3 I = 5

b - 3 = - 5    lub   b - 3 = 5

b = - 2         lub   b =  8

Mamy:

1° )   x - y - 2 = 0           lub     2° )   x  - y + 8 = 0

-----------------------------------------------------------------------

Odległość między pr. AB   i   pr. CD

1° )       I - 2 -  4 I  : [tex]\sqrt{1^2 + (-1)^2}[/tex]  = 6 : √2 =  3√2

[tex]h_1[/tex] = 3√2

------------

lub

2° )     I 8 - 4 I  : √2 = 4 :√2 = 2√2

[tex]h_2 = 2\sqrt{2}[/tex]

----------------

r² = I SB I² = ( 1 - (-2))^2 + ( 5 - 1)² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

S ( - 2 , 1)

Równanie okręgu opisanego na trapezie  ABCD

( x + 2)² + ( y - 1)² = 25

===================

Wyznaczam punkty C i  D

1° )   y = x - 2

   ( x + 2)² + ( y - 1)² = 25

więc

( x + 2)² + ( x - 2 - 1)² = 25

x² + 4 x + 4 + x² - 6 x + 9 = 25

2 x² - 2 x - 12 = 0  / : 2

x² - x - 6 = 0

( x + 2)*( x - 3) = 0

x = - 2    lub   x =  3

zatem

y = - 2 - 2 = - 4     lub   y = 3 - 2 = 1

C( 3 , 1 )        D( - 2, - 4)

=========================

2° )

y = x + 8

( x + 2)² + ( y - 1)² = 25

zatem

( x + 2)² + ( x + 8 - 1)² = 25

x² + 4 x + 4 + x² + 14 x + 49 - 25 = 0

2 x² + 18 x + 28 = 0 / : 2

x² + 9 x + 14 = 0

( x + 7)*( x + 2) = 0

x = - 7      lub    x = - 2

więc

y = - 7 + 8 = 1           lub   y = - 2 + 8 = 6

C ( - 2, 6 )       D( - 7 , 1  )

=======================

Obliczam długości podstaw trapezu

I AB I² = ( 1 - (-6))² + ( 5 - (- 2))² = 7² + 7² = 2*49

I AB I = 7√2

---------------------

1° )    I CD I² = ( - 2 - 3)² + ( - 4 - 1)² = 25 + 25 = 25*2

I CD I = 5√2

----------------------

2° )  I CD I² = ( - 7 - (-2))² + ( 1 - 6 )² = 25 + 25 =  25*2

 I   CD I = 5 √2

---------------------------------------------

Pole  trapezu

1° )   Gdy  S  leży  wewnątrz trapezu ABCD

P = 0,5*(  7√2 + 5√2)* 3√2 = 36 j²

======================================

2° )  Gdy S  leży  na  zewnątrz  trapezu ABCD

P = 0,5*( 7 [tex]\sqrt{2} + 5\sqrt{2} )*2\sqrt{2} =[/tex] 24 j²

========================================

Szczegółowe wyjaśnienie: