Question

2 do potęgi 2003 podzielić na 7 ile wyjdzie reszty?

Answer 1

Odp.: 4

Przyjrzyjmy się resztom z dzielenia kolejnych potęg liczby 2 przez 7:

    n                   2ⁿ                  reszta z dzielenia przez 7      

1.                   2                            2:7 = 0 r. 2              
2.                   4                            4:7 = 0 r. 4        
3.                   8                              8:7 = 1 r. 1
4.                  16                           16:7 = 2 r. 2
5.                 32                           32:7 = 4 r. 4            
6.                 64                           64:7 = 9 r. 1            
7.                128                        128:7 = 18 r. 2                
8.               256                      256:7 = 36 r. 4              
9.                512                        512:7 = 73 r. 1                
10.               1024                   1024:7 = 146 r. 2                  
11.               2048                2048:7 = 292 r. 4                  

Łatwo zauważyć, że reszty z dzielenie kolejnych potęg liczby 2 wynoszą 2, 4 lub 1 i powtarzają się cyklicznie co trzy.

Zatem:

• jeśli wykładnik potęgi jest podzielny przez 3, reszta z dzielenia tej potęgi przez 7 wynosi 1,
• jeśli wykładnik potęgi jest o 1 większy od jest podzielnego przez 3, reszta z dzielenia tej potęgi przez 7 wynosi 2,
• jeśli wykładnik potęgi jest o 2 większy od podzielnego przez 3, reszta z dzielenia tej potęgi przez 7 wynosi 4.

2003 : 3 = 667 r. 2

Czyli wykładnik 2003 danej potęgi jest o 2 większy od podzielnego przez 3

Stąd:

 Reszta z dzielenia liczby 2²⁰⁰³ przez 7 wynosi 4