Question

Para calcular la longitud (/) de la escalera se aplica la formula
si a = 4/2 cm y b = 3/2 cm cuanto mide la escalera

Answer 1

 ■ Hallar una razón de cambio relacionada.■ Resolver problemas de la vida real con razones de cambio relacionadas.Cálculo de razones de cambio relacionadasYa se sabe cómo usar la regla de la cadena para encontrardydx  de manera implícita. Otraaplicación relevante de la regla de la cadena consiste en encontrar razones de cambio de doso más variables relacionadas que están cambiando respecto altiempo.Por ejemplo, cuando sale agua de un depósito cónico (figura 2.33), el volumenV , elradior  y la alturah del nivel del agua son funciones det . Sabiendo que estas magnitudesvariables se relacionan mediante la ecuaciónVrh  32 Ecuación original.se puede derivar implícitamente con respecto at  a fin de obtener la ecuación derazonesde cambiod dt V d dt rhdV dt r dhdt hr dr dt r dhdt rhdr dt ().                   33232222 Diferenciar con respecto at .Para esta ecuación se puede ver que la razón de cambio deV  está relacionada con la razónde cambio deh yr .EXPLORACIÓNCálculo de una razón de cambio relacionada Suponer que en el tanque cónico que semuestra en la figura 2.33, la altura está cambiando a un ritmo de0.2 pies por minutoy el radio lo está haciendo a un ritmo de0.1 pies por minuto. ¿Cuál es la razón decambio del volumen cuando el radio esr   1 pie y la altura esh  2 pies? ¿La razónde cambio del volumen depende de los valores der  yh? Explicar la respuesta.EJEMPLO 1 Dos razones de cambio relacionadasSean x  y y dos funciones derivables det , y relacionadas por la ecuación y   x 2  3. Calculardydt  para x   1, sabiendo quedx dt   2 para x   1.Solución Derivar ambos ladoscon respecto a t , utilizando la regla de la cadena. Ecuación original. Derivar con respecto at . Regla de la cadena.Cuando x   1 ydx dt   2, se tienedydt  2124.hr hr El volumen está relacionado con el radio ycon la alturaFigura 2.33 PARA MAYOR INFORMACIÓN  Para aprender más sobre la historia delos problemas de razones de cambiorelacionadas, ver el artículo “TheLengthening Shadow: The Storyof Related Rates”, de Bill Austin,Don Barry y David Berman, en Mathematics Magazine. dydt  2 x  dx dt  d dt  yd dt  x 23  y x 232.6Razones de cambio relacionadasSECCIÓN 2.6 Razones de cambio relacionadas 149hr