Explicación paso a paso:
Consideremos la expresión (a + b)², donde "a" y "b", son denominados "términos", el cálculo es de esta manera:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Es decir, es igual a el primer término al cuadrado, más el doble del producto de ambos términos, más el segundo término al cuadrado.
Y si tenemos la diferencia al cuadrado, (a - b)², solamente cambia un signo:
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Por otro lado, si el exponente es 3, se calcula así:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
También hay que considerar que si tenemos el producto de dos términos elevado a un exponente, este exponente se distribuye. Por ejemplo:
(mn)³ = m³n³
Además, cuando un número es elevado a un exponente, y luego a otro, los exponentes se multiplican. Por ejemplo:
(x²)³ = x⁶
(Se multiplica el 2 por el 3, y el exponente final es 6).
Finalmente, se pueden dar una combinación de los casos anteriores. Por ejemplo:
(a²b³)² = a⁴b⁶
(En el caso de "a", se multiplica 2 por 2, y su exponente final es 4. En el caso de "b", se multiplica 3 por 2, y su exponente final es 6).
Ahora, los ejercicios resueltos:
(x + 3)² = x² + 2(x)(3) + 3² = x² + 6x + 9
(5x - 2)² = (5x)²- 2(5x)(2) + 2² = 25x² - 20x + 4
(x²y³ - 3z)² = (x²y³)² - 2(x²y³)(3z) + (3z)² = x⁴y⁶ - 6x²y³z + 9z²
(x² + 1/2)² = (x²)² + 2(x²)(1/2) + (1/2)² = x⁴ + x² + 1/4
(ax + b)(ax - b) = (ax)² - b² = a²x² - b² *
(x - y)³ = x³ - 3x²y + 3xy² - y³
* En el caso del penúltimo ejercicio:
Se usó un producto notable llamado diferencia de cuadrados. Cuando se tiene la suma de dos términos multiplicada por la diferencia de los mismos términos, el resultado es igual a la diferencia de los cuadrados de los términos. Es decir:
(a + b)(a - b) = a² - b²
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Explicación paso a paso:
Consideremos la expresión (a + b)², donde "a" y "b", son denominados "términos", el cálculo es de esta manera:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Es decir, es igual a el primer término al cuadrado, más el doble del producto de ambos términos, más el segundo término al cuadrado.
Y si tenemos la diferencia al cuadrado, (a - b)², solamente cambia un signo:
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Por otro lado, si el exponente es 3, se calcula así:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
También hay que considerar que si tenemos el producto de dos términos elevado a un exponente, este exponente se distribuye. Por ejemplo:
(mn)³ = m³n³
Además, cuando un número es elevado a un exponente, y luego a otro, los exponentes se multiplican. Por ejemplo:
(x²)³ = x⁶
(Se multiplica el 2 por el 3, y el exponente final es 6).
Finalmente, se pueden dar una combinación de los casos anteriores. Por ejemplo:
(a²b³)² = a⁴b⁶
(En el caso de "a", se multiplica 2 por 2, y su exponente final es 4. En el caso de "b", se multiplica 3 por 2, y su exponente final es 6).
Ahora, los ejercicios resueltos:
(x + 3)² = x² + 2(x)(3) + 3² = x² + 6x + 9
(5x - 2)² = (5x)²- 2(5x)(2) + 2² = 25x² - 20x + 4
(x²y³ - 3z)² = (x²y³)² - 2(x²y³)(3z) + (3z)² = x⁴y⁶ - 6x²y³z + 9z²
(x² + 1/2)² = (x²)² + 2(x²)(1/2) + (1/2)² = x⁴ + x² + 1/4
(ax + b)(ax - b) = (ax)² - b² = a²x² - b² *
(x - y)³ = x³ - 3x²y + 3xy² - y³
* En el caso del penúltimo ejercicio:
Se usó un producto notable llamado diferencia de cuadrados. Cuando se tiene la suma de dos términos multiplicada por la diferencia de los mismos términos, el resultado es igual a la diferencia de los cuadrados de los términos. Es decir:
(a + b)(a - b) = a² - b²