2.
a. Jika f ( x ) dibagi ( x - 1 ) bersisa 4
b. Jika f ( x ) dibagi ( x + 1 ) bersisa -3
c. Jika f ( x ) dibagi ( x - 2 ) bersisa 2
Tentukan sisa jika dibagi ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 )
a. Jika f ( x ) dibagi ( x - 1 ) bersisa 4
b. Jika f ( x ) dibagi ( x + 1 ) bersisa -3
c. Jika f ( x ) dibagi ( x - 2 ) bersisa 2
Tentukan sisa jika dibagi ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 )
Kita dapat menyusun persamaan-persamaan berikut:
f(x) = q1(x)(x - 1) + 4 --> (1)
f(x) = q2(x)(x + 1) - 3 --> (2)
f(x) = q3(x)(x - 2) + 2 --> (3)
Kita ingin mencari sisa jika f(x) dibagi oleh (x - 1)(x + 1)(x - 2). Dengan kata lain, kita ingin mencari sisa f(x) dibagi dengan hasil kali (x - 1)(x + 1)(x - 2).
Jadi, kita perlu menggabungkan sisa-sisa dari persamaan (1), (2), dan (3) menjadi satu persamaan.
Mulai dengan persamaan (1):
f(x) = q1(x)(x - 1) + 4
Karena f(x) dapat dibagi oleh (x + 1), maka x = -1 merupakan akar dari f(x). Dengan mengganti x dengan -1, kita dapat menentukan sisa dari persamaan (1):
f(-1) = q1(-1)(-1 - 1) + 4
4 = -2q1(-2) + 4
-2q1(-2) = 0
q1(-2) = 0
Ini berarti (x + 1) membagi habis q1(x), sehingga q1(x) dapat ditulis sebagai q1(x) = (x + 1)q1'(x), di mana q1'(x) adalah polinomial lain.
Kita dapat menulis ulang persamaan (1) sebagai:
f(x) = (x + 1)q1'(x)(x - 1) + 4 --> (4)
Selanjutnya, masukkan persamaan (4) ke persamaan (2):
(x + 1)q1'(x)(x - 1) + 4 = q2(x)(x + 1) - 3
(x + 1)q1'(x)(x - 1) = q2(x)(x + 1) - 7
Karena f(x) dapat dibagi oleh (x - 2), maka x = 2 merupakan akar dari f(x). Dengan mengganti x dengan 2, kita dapat menentukan sisa dari persamaan tersebut:
2q1'(2)(2 - 1) = q2(2)(2 + 1) - 7
2q1'(2) = 3q2(2) - 7
3q2(2) = 2q1'(2) + 7
q2(2) = (2/3)q1'(2) + (7/3)
Ini berarti (x - 2) membagi habis q2(x), sehingga q2(x) dapat ditulis sebagai q2(x) = (x - 2)q2'(x), di mana q2'(x) adalah polinomial lain.
Kita dapat menulis ulang persamaan (2) sebagai:
(x + 1)q1'(x)(x - 1) + 4 = (x - 2)q2'(x)(x + 1) - 3 --> (5)
Terakhir, masukkan persamaan (5) ke persamaan (3):
(x + 1)q1'(x)(x - 1) + 4 = (x - 2)q2'(x)(x + 1) - 3
(x + 1)q1'(x)(x - 1) = (x - 2)q2'(x)(x + 1) - 7
Karena kita ingin menentukan sisa jika f(x) dibagi oleh (x - 1)(x + 1)(x - 2), maka kita perlu menggabungkan persamaan (4) dan (5) menjadi satu persamaan.
(x + 1)q1'(x)(x - 1) + 4 = (x - 2)q2'(x)(x + 1) - 7
Kita dapat mengurangi persamaan tersebut untuk mendapatkan sisa:
[(x + 1)q1'(x)(x - 1) + 4] - [(x - 2)q2'(x)(x + 1) - 7] = 0
Sekarang kita dapat menyederhanakan persamaan di atas:
(x + 1)q1'(x)(x - 1) - (x - 2)q2'(x)(x + 1) + 11 = 0
Kita ingin menentukan sisa dari persamaan ini ketika dibagi oleh (x - 1)(x + 1)(x - 2).
Dengan menggabungkan persamaan (x - 1)(x + 1)(x - 2) = (x^2 - 1)(x - 2) = x^3 - 2x^2 - x + 2, kita dapat menulis:
[(x + 1)q1'(x)(x - 1) - (x - 2)q2'(x)(x + 1) + 11] = [x^3 - 2x^2 - x + 2]q3(x) + R(x)
Di sini, R(x) adalah sisa yang kita cari.
Dengan membandingkan koefisien-koeffisien setiap pangkat x, kita dapat menentukan sisa R(x).
Mengingat bahwa (x + 1) membagi habis q1'(x) dan (x - 1) membagi habis x^3 - 2x^2 - x + 2, kita dapat menyimpulkan bahwa (x + 1)(x - 1) = x^2 - 1 membagi habis R(x).
Jadi, sisa jika f(x) dibagi oleh (x - 1)(x + 1)(x - 2) adalah x^2 - 1