Jeżeli ciąg jest arytmetyczny, to suma 6 początkowych wyrazów ciągu wynosi -9.
Jeżeli ciąg jest geometryczny, to suma 6 początkowych wyrazów ciągu wynosi -30¹/₃.
Ciąg arytmetyczny
Ciągiem arytmetycznym nazywamy taki ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o stałą wartość, nazywaną różnicą ciągu arytmetycznego.
[tex]\huge\boxed{a_n=a_1+(n-1)\cdot r}[/tex]
Wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
Jeżeli ciąg jest arytmetyczny, to suma 6 początkowych wyrazów ciągu wynosi -9.
Jeżeli ciąg jest geometryczny, to suma 6 początkowych wyrazów ciągu wynosi -30¹/₃.
Ciąg arytmetyczny
Ciągiem arytmetycznym nazywamy taki ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o stałą wartość, nazywaną różnicą ciągu arytmetycznego.
[tex]\huge\boxed{a_n=a_1+(n-1)\cdot r}[/tex]
Wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
[tex]\huge\boxed{S_n=\dfrac{a_1+a_n}2\cdot n}[/tex]
Ciąg geometryczny
Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego q razy.
[tex]\huge\boxed{a_n=a_1\cdot q^{n-1}}[/tex]
Wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
[tex]\huge\boxed{S_n=\left\{\begin{array}{lll}a_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}&\text{dla}&q\neq 1\\\\a_1\cdot n&\text{dla}&q=1\end{array}\right.}[/tex]
Zadanie:
Oblicz sumę 6 początkowych wyrazów ciągu, w którym a₁=¹/₆, a₂=-¹/₂.
Rozwiązanie:
W zadaniu nie zostało określone, czy jest to ciąg arytmetyczny czy geometryczny, zatem musimy rozważyć to zadanie dla dwóch przypadków.
I. Podany ciąg jest arytmetyczny
W pierwszej kolejności należy wyznaczyć różnicę ciągu:
[tex]r=a_2-a_1\\\\r=-\dfrac12-\dfrac16\\\\r=-\dfrac{3}{6}-\dfrac16\\\\r=-\dfrac46\\\\\underline{\bold{r=-\dfrac23}}[/tex]
Wyznaczamy 6 wyraz tego ciągu:
[tex]a_6=a_1+5r\\\\a_6=\dfrac16+5\cdot \left(-\dfrac23\right)\\\\a_6=\dfrac16-\dfrac{10}3\\\\a_6=\dfrac16-\dfrac{20}{6}\\\\\underline{\bold{a_6=-\dfrac{19}6}}[/tex]
Wyznaczamy sumę 6-początkowych wyrazów:
[tex]S_6=\dfrac{\frac16+\left(-\frac{19}6\right)}2\cdot 6\\\\S_6=3\left(\dfrac16-\dfrac{19}6\right)\\\\S_6=3\cdot \left(-\dfrac{18}6\right)\\\\S_6=3\cdot (-3)\\\\\boxed{\bold{S_6=-9}}[/tex]
II. Podany ciąg jest geometryczny
W pierwszej kolejności należy wyznaczyć iloraz ciągu:
[tex]\begin{array}{lll}a_1\cdot q=a_2\\\\\dfrac16\cdot q=-\dfrac12*|\cdot 6\\\\q=-\dfrac62\\\\\underline{\bold{q=-3}}\end{array}[/tex]
Wyznaczamy 6 wyraz ciągu:
[tex]a_6=a_1\cdot q^5\\\\a_6=\dfrac16\cdot (-3)^5\\\\a_6=\dfrac16\cdot (-243)\\\\a_6=-\dfrac{243}6\\\\a_6=-\dfrac{81}2\\\\\underline{\bold{a_6=-40\dfrac12}}[/tex]
Wyznaczamy sumę 6 początkowych wyrazów ciągu:
[tex]S_6=a_1\cdot\dfrac{1-q^6}{1-q}\\\\S_6=\dfrac16\cdot\dfrac{1-(-3)^6}{1-(-3)}\\\\S_6=\dfrac16\cdot\dfrac{1-729}{1+3}\\\\S_6=\dfrac{-728}{6\cdot 4}\\\\S_6=-\dfrac{91}3\\\\\boxed{\bold{S_6=-30\dfrac13}}[/tex]