Przedstaw trójmian w postaci iloczynowej. Znajdź punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych i wyznacz jej wierzchołek. Naszkicuj te parabolę
a) y=2x2+2x
b) y= -1/2 x2- 3x- 5/2
a) y=2x2+2x
b) y= -1/2 x2- 3x- 5/2
y = a(x - h)² + k
Gdzie a, h i k to odpowiednio współczynnik przy x², połowa współczynnika przy x oraz wyraz wolny.
Aby przekształcić trójmian na postać kanoniczną, musimy skorzystać z metody dopełnienia kwadratu:
y = 2x² + 2x
y = 2(x² + x)
y = 2(x² + x + 1/4 - 1/4) // dopełnienie kwadratu
y = 2[(x + 1/2)² - 1/4]
y = 2(x + 1/2)² - 1/2
Teraz, korzystając z postaci kanonicznej, możemy zapisać trójmian w postaci iloczynowej:
y = 2(x + 1/2)² - 1/2
y = 2(x + 1/2)(x + 1/2) - 1/2
y = 2(x + 1/2)(x + 1/2) - 1/2
Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie (-1/2, -1/2), a punkty przecięcia z osią OX wynoszą (-1, 0) oraz (0, 0).
b) Trójmian kwadratowy y = -1/2x² - 3x - 5/2 również można zapisać w postaci kanonicznej i w postaci iloczynowej. Postać kanoniczna ma postać:
y = a(x - h)² + k
Aby ją znaleźć, musimy przekształcić trójmian do postaci z dopełnieniem kwadratu:
y = -1/2x² - 3x - 5/2
y = -1/2(x² + 6x + 15) - 5/2 + 45/2
y = -1/2(x + 3)² + 20
Teraz, korzystając z postaci kanonicznej, możemy zapisać trójmian w postaci iloczynowej:
y = -1/2(x + 3)² + 20
y = -1/2(x + 3)(x + 3) + 20
y = -1/2(x + 3)(x + 3) + 20
Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie (-3, 20), a punkty przecięcia z osią OX wynoszą (-5, 0) oraz (2, 0).