Question

Wyznacz sumę całkową funkcji f(x) = cosx dla podziału równomiernego przedziału
[-π/2; π/2]

Answer 1

Aby wyznaczyć sumę całkową funkcji f(x) = cosx dla podziału równomiernego przedziału [-π/2; π/2], musimy podzielić ten przedział na n równej długości, czyli na n podprzedziałów. Następnie obliczamy wartość funkcji w punkcie środkowym każdego z tych podprzedziałów i sumujemy wyniki.

Długość każdego podprzedziału to:

Δx = (π/2 - (-π/2))/n = π/n

Punkty środkowe podprzedziałów to:

x1 = -π/2 + Δx/2 = -π/2 + π/2n

x2 = -π/2 + 3Δx/2 = -π/2 + 3π/2n

x3 = -π/2 + 5Δx/2 = -π/2 + 5π/2n

...

xn = -π/2 + (2n - 1)Δx/2 = -π/2 + (2n - 1)π/2n

Wartości funkcji w tych punktach to:

f(x1) = cos(-π/2 + π/2n) = sin(π/2n)

f(x2) = cos(-π/2 + 3π/2n) = -cos(π/2n)

f(x3) = cos(-π/2 + 5π/2n) = sin(3π/2n)

...

f(xn) = cos(-π/2 + (2n - 1)π/2n) = (-1)^(n-1)sin(π/2n)

Sumując te wartości, otrzymujemy sumę całkowitą:

S_n = f(x1) + f(x2) + f(x3) + ... + f(xn) = sin(π/2n) - cos(π/2n) + sin(3π/2n) - cos(5π/2n) + ... + (-1)^(n-1)sin(π/2n)

Nie ma prostej wzoru na tę sumę, ale można ją zapisać w bardziej kompaktowej formie:

S_n = 2 sin(π/2n) - 2/3 sin(3π/2n) + 2/5 sin(5π/2n) - ... + (-1)^(n-1)2/(2n-1) sin((2n-1)π/2n)

Im większa wartość n, tym dokładniejsze przybliżenie sumy całkowitej otrzymujemy.