Question

wartość wyrażenia
[tex]log \: \frac{1}{ \sqrt{2} } \: (sin \: 60 \: stopni \: - \: cos \: 45 \: stopni) \: + \: log \: \frac{1}{ \sqrt{2} } \: (cos \: 30 \: stopni \: + \: sin \: 45 \: stopni) \: jest \: rowna \\ [/tex]
​
A. 4
B.2
C.1
D. 1/2

Answer 1

Odpowiedź i szczegółowe wyjaśnienie:

Wpierw musimy znaleźć wartości trygonometryczne podane w nawiasach logarytmów. A więc:

[tex]sin60=\dfrac{\sqrt3}{2}\\\\cos45=\dfrac{\sqrt2}{2}\\\\cos30=\dfrac{\sqrt3}{2}\\\\sin45=\dfrac{\sqrt2}{2}[/tex]

Zatem nasze wyrażenie ma postać:

[tex]log_{\frac1{\sqrt2}}(\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2})+log_{\frac1{\sqrt2}}(\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}})=\\\\=log_{\frac1{\sqrt2}}(\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{2})+log_{\frac1{\sqrt2}}(\dfrac{\sqrt3+\sqrt2}{2})=\\\\\\=log_{\frac1{\sqrt2}}(\dfrac{\sqrt3-\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3+\sqrt2}{2})=log_{\frac1{\sqrt2}}(\dfrac{(\sqrt3)^2+\sqrt3\sqrt2-\sqrt3\sqrt2+(\sqrt2)^2}{4})=\\\\[/tex]

[tex]=log_{\frac1{\sqrt2}}(\dfrac{3-2}{4})=log_{\frac1{\sqrt2}}(\dfrac{1}{4})=log_{\sqrt2^{-1}}(4^{-1})=log_{2^-\frac12}}(2^{-2})[/tex]
I teraz małe wyjaśnienie. W podstawie logarytmu przekształciliśmy ułamek na potęgę 2. Ze względu za zapis powinien wyglądać tak: 2 do potęgi minus 1/2 - niestety LATEX (program do wyświetlania równań nie poprawnie taki zapis wyświetla).

Przy takim zapisie, gdzie jest potęga w podstawie logarytmu korzystamy ze wzoru:

[tex]log_{a^n}b=\dfrac{1}{n}log_ab[/tex]

zatem obliczając dalej ten logarytm otrzymamy:

[tex]log_{2^{-\frac12}}(4^{-1})=-\dfrac{1}{\frac12}log_24^{-1}=-\dfrac{1}{\frac12}\cdot (-1)log_22^2=2log_22^2=2\cdot2\cort log_22=2\cdot2=4[/tex]

Podsumowując: wynikiem naszego logarytmu będzie liczba 4.

Wykorzystano podstawowe własności logarytmowania:

[tex]log_ab+log_ac=log_a(b\cdot c)\\\\log_ab^n=n\cdot log_ab\\\\log_aa=1[/tex]