Question

Jika [tex]\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{5-x}-b )(\sqrt{3+x}+a )}{1-x} =1[/tex] dengan [tex]a\ \textgreater \ 1[/tex], maka hasil transformasi parabola dengan titik puncak (2,0) dan melalui titik (0,4) oleh dilatasi dengan faktor skala [tex]a[/tex] dan pusat [tex](b,b)[/tex] adalah ...
A. y = x²-2 B. y = x²/2-2x C. y = x²-2x+1 D. y = x²-4x+4

Answer 1

Hasil transformasi parabola tersebut adalah y = x²/2 – 2x. PembahasanLimit dan Transformasi Evaluasi LimitBentuk limit pada pertanyaan adalah bentuk tak tentu.Perhatikan bahwa pembagi adalah [tex](1-x)[/tex]. Koefisien x adalah –1. Pada pembilang, koefisien x yang sama (di dalam bentuk akar) terdapat pada [tex]\left(\sqrt{5-x}-b\right)[/tex]. Oleh karena itu, kita kalikan dengan bentuk konjugatnya (bentuk sekawannya), agar nantinya [tex](1-x)[/tex] dapat habis membagi pembilang.[tex]\begin{aligned}1&=\lim_{x\to1}\frac{\left(\sqrt{5-x}-b\right)\left(\sqrt{5-x}+b\right)\left(\sqrt{3+x}+a\right)}{(1-x)\left(\sqrt{5-x}+b\right)}\\&=\lim_{x\to1}\frac{\left(5-x-b^2\right)\left(\sqrt{3+x}+a\right)}{(1-x)\left(\sqrt{5-x}+b\right)}\\\end{aligned}[/tex]Agar pembagi habis membagi pembilang, ambil [tex]b=2[/tex].[tex]\begin{aligned}1&=\lim_{x\to1}\frac{\left(5-x-2^2\right)\left(\sqrt{3+x}+a\right)}{(1-x)\left(\sqrt{5-x}+2\right)}\\&=\lim_{x\to1}\frac{\cancel{\left(1-x\right)}\left(\sqrt{3+x}+a\right)}{\cancel{\left(1-x\right)}\left(\sqrt{5-x}+2\right)}\\&=\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{3+x}+a}{\sqrt{5-x}+2}\end{aligned}[/tex]Lalu, substitusi [tex]x[/tex] dengan 1.[tex]\begin{aligned}1&=\frac{\sqrt{3+1}+a}{\sqrt{5-1}+2}\\&=\frac{\sqrt{4}+a}{\sqrt{4}+2}\\1&=\frac{2+a}{4}\\\Rightarrow\ 4&=2+a\ \Rightarrow\ a=\bf2\end{aligned}[/tex]Dengan demikian diperoleh:∴  a = 2, b = 2. Menentukan Hasil TransformasiDari hasil di atas, dapat ditentukan bahwa transformasi yang akan diterapkan adalah dilatasi dengan faktor skala 2 dan pusat (2, 2).[tex]\implies M=\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\,,\ a=2\,,\ b=2[/tex]Cara I: transformasi titik, lalu tentukan fungsiTitik puncak parabola: (2, 0)[tex]\implies x=2\,,\ y=0[/tex]Hasil transformasi:[tex]\begin{aligned}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=M\cdot\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2-2\\0-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}0\\-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}\bf2\\\bf-2\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex]Titik puncak parabola hasil transformasi adalah (2, –2).Titik yang dilalui: (0, 4)Hasil transformasi:[tex]\begin{aligned}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=M\cdot\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0-2\\4-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}\bf{-}2\\\bf6\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex]Titik yang dilalui parabola hasil transformasi adalah (–2, 6).Fungsi kuadrat dengan titik puncak (2, –2) dan melalui (–2, 6) dapat ditentukan sebagai berikut.[tex]\begin{aligned}y&=a(x-x_p)^2+y_p\\&=a(x-2)^2+(-2)\\y&=a(x-2)^2-2\quad...(i)\\\\&(x,y)=(-2,6)\\\Rightarrow 6&=a(-2-2)^2-2\\&=a(-4)^2-2\\&=16a-2\\16a&=8\ \Rightarrow\ a=\frac{1}{2}\quad...(ii)\\\\(ii)&\to(i)\\\Rightarrow y&=\frac{1}{2}(x-2)^2-2\\&=\frac{1}{2}\left(x^2-4x+4\right)-2\\\\\therefore\ \ &\boxed{\ y=\bf\frac{x^2}{2}-2x\ }\end{aligned}[/tex] Cara II: tentukan fungsi awal, lalu transformasiFungsi kuadrat dengan titik puncak (2, 0) dan melalui (0, 4) dapat ditentukan sebagai berikut.[tex]\begin{aligned}y&=a(x-x_p)^2+y_p\\&=a(x-2)^2+0\\y&=a(x-2)^2\quad...(i)\\\\&(x,y)=(0,4)\\\Rightarrow 4&=a(0-2)^2\\&=a(-2)^2\\&=4a\\\Rightarrow\ a&=1\quad...(ii)\\\\(ii)&\to(i)\\\Rightarrow y&=(1)(x-2)^2\\\\\therefore\ \ &y=(x-2)^2\end{aligned}[/tex]Transformasi titik-titik [tex](x,\,y)[/tex] memberikan:[tex]\begin{aligned}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=M\cdot\begin{pmatrix}x-a\\y-b\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x-2\\y-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}2x-4\\2y-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\bf2x-2\\\bf2y-2\end{pmatrix}\\\\\therefore\ x'&=2x-2\,,\ y'=2y-2\end{aligned}[/tex]Dari hasil tersebut, kita tentukan [tex]x[/tex] dan [tex]y[/tex].[tex]\begin{aligned}\bullet\ &x'=2x-2\ \Rightarrow\ x=\frac{x'+2}{2}\\\bullet\ &y'=2y-2\ \Rightarrow\ y=\frac{y'+2}{2}\\\end{aligned}[/tex]Substitusi [tex]x[/tex] dan [tex]y[/tex] ke fungsi kuadrat awal.[tex]\begin{aligned}y&=(x-2)^2\\\frac{y'+2}{2}&=\left(\frac{x'+2}{2}-2\right)^2\\&=\left(\frac{x'+2-4}{2}\right)^2\\&=\left(\frac{x'-2}{2}\right)^2\\\frac{y'+2}{2}&=\frac{(x'-2)^2}{4}\\y'+2&=\frac{(x'-2)^2}{2}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}\Rightarrow\ y'&=\frac{(x'-2)^2}{2}-2\\&=\frac{(x'-2)^2-4}{2}\\&=\frac{(x')^2-4x'}{2}\\y'&=\frac{(x')^2}{2}-2x'\\\\\therefore\ \ &\boxed{\ y=\bf\frac{x^2}{2}-2x\ }\end{aligned}[/tex]