1.Soal Persamaan Ampere-Maxwell:
Dalam kondisi magnetostatik (tidak ada perubahan medan listrik seiring waktu), persamaan Ampere-Maxwell disederhanakan menjadi:
∇ × B = μ₀J,
di mana ∇ × B adalah rotasi medan magnetik, μ₀ adalah konstanta permeabilitas ruang hampa, dan J adalah kerapatan arus. Dalam sebuah kawat lurus yang panjangnya L, arus listrik I mengalir ke arah positif z. Tentukanlah persamaan diferensial yang sesuai dengan persamaan ini dan gunakan untuk menghitung medan magnetik di sekitar kawat pada jarak r dari sumbu kawat!
Dalam kondisi magnetostatik (tidak ada perubahan medan listrik seiring waktu), persamaan Ampere-Maxwell disederhanakan menjadi:
∇ × B = μ₀J,
di mana ∇ × B adalah rotasi medan magnetik, μ₀ adalah konstanta permeabilitas ruang hampa, dan J adalah kerapatan arus. Dalam sebuah kawat lurus yang panjangnya L, arus listrik I mengalir ke arah positif z. Tentukanlah persamaan diferensial yang sesuai dengan persamaan ini dan gunakan untuk menghitung medan magnetik di sekitar kawat pada jarak r dari sumbu kawat!
Jawaban:
Maka, medan magnetik pada jarak ρ dari sumbu kawat adalah:
B(ρ) = (μ₀I) / (2πρ)
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan hukum Ampere untuk menghitung medan magnetik di sekitar kawat. Hukum Ampere menyatakan bahwa sirkulasi medan magnetik B sepanjang suatu lintasan tertutup sama dengan μ₀ kali arus yang melintasi daerah yang dibatasi oleh lintasan tersebut.
Sebagai permulaan, kita akan menggunakan koordinat silinder (ρ, φ, z) dengan sumbu z sebagai sumbu kawat. Karena simetri silinder, medan magnetik hanya tergantung pada jarak ρ dari sumbu kawat dan mengarah sepanjang arah φ.
Kita akan mengambil lintasan tertutup berbentuk lingkaran dengan jari-jari ρ di bidang tegak lurus terhadap sumbu z. Sirkulasi medan magnetik B sepanjang lintasan ini adalah:
∮ B · dl = B(ρ) × 2πρ
Di mana B(ρ) adalah besar medan magnetik pada jarak ρ dari sumbu kawat, dan dl adalah elemen panjang sepanjang lintasan tertutup.
Selanjutnya, kita perlu mencari arus listrik I yang melintasi daerah yang dibatasi oleh lintasan tersebut. Karena kita hanya tertarik pada kawat, maka arus yang melintasi daerah tersebut adalah I.
Menggunakan hukum Ampere, kita dapat menulis:
B(ρ) × 2πρ = μ₀I
Maka, medan magnetik pada jarak ρ dari sumbu kawat adalah:
B(ρ) = (μ₀I) / (2πρ)
Ini adalah persamaan medan magnetik di sekitar kawat lurus yang panjangnya L dan memiliki arus listrik I mengalir ke arah positif z. Persamaan ini hanya berlaku untuk jarak r (dalam hal ini ρ) yang lebih besar dari radius kawat.