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Tengo S/ 1,85 en monedas de 10 y 5 centavos. Si en total tengo 22 monedas, ¿Cuántas son de 10 centavos y cuántas de 5 centavos?
a) 14 y 8
b) 13 y 9
c) 10 y 12
d) 15 y 7
e) 17 y 5
Tengo S/ 1,85 en monedas de 10 y 5 centavos. Si en total tengo 22 monedas, ¿Cuántas son de 10 centavos y cuántas de 5 centavos?
a) 14 y 8
b) 13 y 9
c) 10 y 12
d) 15 y 7
e) 17 y 5
Se tienen 15 monedas de 10 centavos y 7 monedas de 5 centavos
Siendo correcta la opción d
Solución
Llamamos variable "x" a las monedas de 10 centavos y variable "y" a las monedas de 5 centavos
Donde sabemos que
El total de monedas que se tienen es de 22
Donde sabemos que el monto total que suman las monedas es de $ 1.85
Teniendo monedas de denominación de 10 centavos
Teniendo monedas de denominación de 5 centavos
Se debe determinar cuantas monedas de cada denominación se tienen
Por lo tanto planteamos un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema
El sistema de ecuaciones:
Sumamos la cantidad de monedas de denominación de 10 centavos y la cantidad de monedas de denominación de 5 centavos para la primera ecuación y la igualamos a la cantidad de monedas que se tienen en total
[tex]\large\boxed {\bold {x \ +\ y = 22 }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]
Luego como se tienen dos denominaciones o dos clases de monedas sumamos las monedas de valor de 10 centavos y las monedas de valor de 5 centavos para plantear la segunda ecuación, y la igualamos al monto total de dinero que estas suman
Donde como estamos igualando centavos y pesos, hacemos lo siguiente:
Sabemos que :
[tex]\bold{ \ \$\ 1 \ = 100 \ centavos}[/tex]
Luego
[tex]\bold{ 10 \ centavos = \frac{10}{100} = \$\ 0.10 }[/tex]
[tex]\bold{ 5 \ centavos = \frac{5}{100} = \$\ 0.05 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {0.10x \ + \ 0.05y = 1.85 }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]
Luego
[tex]\large\boxed {\bold {y =22 -x }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
Resolvemos el sistema de ecuaciones para determinar cuantos monedas se tienen de cada denominación
Reemplazando
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {y =22 -x }}[/tex]
[tex]\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {0.10x \ + \ 0.05y = 1.85 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {0.10x \ + \ 0.05\ (22 -x) = 1.85 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {0.01x \ + \ 1.1\ -0.05x = 1.85 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {0.05x \ + \ 1.1\ = 1.85 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {0.05x = 1.85- 1.1 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {0.05x = 0.75 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x = \frac{0.75}{0.05} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x =15 }}[/tex]
Por lo tanto se tienen 15 monedas de 10 centavos
Hallamos la cantidad de monedas de 5 que se tienen
Reemplazando el valor hallado de x en
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {y =22 -x }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {y =22 -15 }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {y =7 }}[/tex]
Luego se tiene 7 monedas de 5 centavos
Verificación
Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {x \ +\ y =22\ monedas}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 15 \ monedas\ de \ \$\ 0.10\ +\ 7 \ monedas\ de \ \$\ 0.05\ = 22 \ monedas}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {22 \ monedas = 22\ monedas }}[/tex]
[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {0.10x \ + \ 0.05y = 1.85 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\$ \ 0.10 \ . \ 15 \ monedas\ \ +\ \$ \ 0.05 \ . \ 7 \ monedas\ = \$\ 1.85 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\$\ 1.5 \ + \ \$\ 0.35 = \$\ 1.85 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\$\ 1.85= \$\ 1.85 }}[/tex]
[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]