Question

17 Wyznacz wartość parametru m, dla której suma kwadratów pierwiastków równania x² - (4+ m)x+ m - 1 = 0 przyjmuje najmniejszą wartość.​

Answer 1

Suma kwadratów pierwiastków równania
x² - (4+ m)x+ m - 1 = 0
przyjmuje najmniejszą wartość równą 9 dla m = -3.

Równanie kwadratowe z parametrem.

Równanie kwadratowe postaci

[tex]ax^2+bx+c=0[/tex]

posiada ilość rozwiązań w zależności od znaku wyróżnika trójmianu kwadratowego Δ:

Δ < 0 , to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych;

Δ = 0, to równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste;

Δ > 0, to równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.

Dane jest równanie:

[tex]x^2-(4+m)x+m-1=0[/tex]

Mamy wyznaczyć wartość parametru [tex]m[/tex], dla której suma kwadratów pierwiastków powyższego równania przyjmuje najmniejszą wartość.​

Niech [tex]x_1,\ x_2[/tex] będą pierwiastkami danego równania.

Otrzymujemy układ:

[tex]\left\{\begin{array}{ccc}a\neq0&(1)\\\Delta\geq0&(2)\\x_1^2+x_2^2=min&(3)\end{array}\right[/tex]

(1)

[tex]a=1\neq0\\\\\boxed{m\in\mathbb{R}}[/tex]

(2)

[tex]a=1,\ b=-(4+m),\ c=m-1\\\\\Delta=\left[-(4+m)\right]^2-4\cdot1\cdot(m-1)=4^2+2\cdot4\cdot m+m^2-4m+4\\\\\Delta=m^2+4m+20[/tex]

[tex]\Delta\geq0\iff m^2+4m+20\geq0\\\\\Delta_m=4^2-4\cdot1\cdot20=16-80=-64 < 0[/tex]

[tex]a=1>0[/tex] w związku z tym Δ zawsze przyjmuje tylko wartości dodatnie.

[tex]\boxed{m\in\mathbb{R}}[/tex]

(3)

[tex]x_1^2+x_2^2[/tex]

Zastosujemy wzory Viete'a:

[tex]x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}\\\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}[/tex]

[tex]x_1^2+x_2^2=\underbrace{x_1^2+2x_1x_2+x_2^2}_{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2[/tex]

Podstawiamy:

[tex]\left(\dfrac{-b}{a}\right)^2-2\cdot\dfrac{c}{a}=\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2c}{a}=\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2ac}{a^2}=\dfrac{b^2-2ac}{a^2}[/tex]

Podstawiamy:

[tex]a=1,\ b=-(4+m),\ c=m-1\\\\\\\dfrac{[-(4+m)]^2-2\cdot1\cdot(m-1)}{1^2}=4^2+2\cdot4\cdot m+m^2-2m+2\\\\=16+8m+m^2-2m+2=m^2+6m+18[/tex]

Otrzymujemy trójmian kwadratowy. Uznajmy go jako funkcję kwadratową:

[tex]f(m)=m^2+6m+18[/tex]

Mamy znaleźć argument, dla którego funkcja osiąga najmniejszą wartość.

[tex]a=1>0[/tex]. W związku z tym funkcja osiąga wartość najmniejszą w wierzchołku [tex]W[/tex] paraboli, która jest wykresem tej funkcji.

[tex]W(p,\ q)[/tex]

Współrzędne wierzchołka paraboli obliczamy ze wzorów:

[tex]p=\dfrac{-b}{2a},\ q=f(p)[/tex]

Podstawiamy:

[tex]p=\dfrac{-6}{2\cdot1}=\dfrac{-6}{2}=-3\\\\q=f(-3)=(-3)^2+6\cdot(-3)+18=9-18+18=9[/tex]

Czyli dla [tex]m=-3[/tex] suma kwadratów pierwiastków równania [tex]x^2-(4+m)x+m-1=0[/tex] przyjmuje najmniejszą wartość równą [tex]9[/tex].