En un triángulo rectángulo, el perímetro es 80 cm y el coseno de uno de los ángulos agudos es 8/17. Hallar la longitud de su hipotenusa.
A) 51 cm
B) 17 cm
C) 45 cm
D) 34 cm
E) 30 cm
A) 51 cm
B) 17 cm
C) 45 cm
D) 34 cm
E) 30 cm
Respuesta:
D) 34 cm
Explicación paso a paso:
Te apoyas en la gráfica adjunta, por fa. (Triángulo ACB)
En la gráfica, tomamos como referencia el ángulo agudo en B; por tanto: el lado "a" como cateto adyacente; "b" como cateto opuesto y "c" como la hipotenusa.
El primer dato que nos da el problema es que:
[tex]a+b+c=80cm[/tex] o sea el perímetro es la suma de los lados
El segundo dato que nos proporcionan es que el coseno del ángulo en B es 8/17
Vamos a plantear la igualdad relativa al perímetro, en términos de "c"
Como sabemos que la razón coseno relaciona cateto adyacente con hipotenusa, planteamos:
[tex]\frac{8}{17}=\frac{a}{c}[/tex]
Despejamos "a", diciendo: [tex]a=\frac{8c}{17}[/tex]
Ahora, apoyados en ese valor de "a", despejamos "b" en la igualdad:
[tex]\frac{8c}{17}+b+c=80cm[/tex]
[tex]b=80-\frac{8c}{17}-c[/tex]
[tex]b=\frac{1360-25c}{17}[/tex]
Ahora podemos hallar la longitud de "c" o hipotenusa, aplicando el Teorema de Pitágoras y realizando las operaciones algebraicas.
[tex]c^{2}=a^{2}+b^{2}[/tex]
Reemplazamos:
[tex]c^{2}=(\frac{8c}{17})^{2}+(\frac{1360-25c}{17})^{2}[/tex]
Operamos y luego despejamos c, sacando raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad:
[tex]c=\frac{\sqrt{1360^{2}+689c^{2}-68000c}}{17}[/tex]
Pasamos 17 a multiplicar al lado izquierdo y elevamos ambos lados de la igualdad al cuadrado, para así eliminar la raíz.
[tex](17c)^{2}=689c^{2}-68000c+1849600[/tex]
[tex]289c^{2}=689c^{2}-68000c+1849600[/tex]
pasamos [tex]289c^{2}[/tex] al otro lado a restar, operamos e igualamos a cero, para así obtener una ecuación cuadrática.
[tex]400c^{2}-68000c+1849600=0[/tex]
simplificamos dividiendo la expresión entre 400, en ambos lados, pero a la derecha sigue siendo 0
[tex]c^{2}-170c+4624=0[/tex]
Resolvemos la ecuación cuadrática, aplicando la fórmula general:
[tex]c=\frac{-(-170)+-\sqrt{(-170)^{2}-4*1*4624}}{2*1}=34[/tex]
También da para c el resultado de 136, pero desechamos ese valor porque es muy grande e inferimos que se estaría incumpliendo la propiedad de los triángulos que dice que un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos lados. Tomamos entonces 34 como la longitud de la hipotenusa.
Respuesta: 34 cm Opción D)
PRUEBA:
[tex]a=\frac{8c}{17}=\frac{8*34}{17}=16cm[/tex]
[tex]b=\frac{1360-25*34}{17}=30cm[/tex]
[tex]c=34cm[/tex]
Sumamos los lados a, b, c
16cm+30cm+34cm=80cm, que es el perímetro. OK
Y por el Teorema de Pitágoras:
[tex]34^{2}=16^{2}+30^{2}[/tex]
1156=256+900
1156=1156 OK.