Question

Matma rozszerzona 2 liceum
W koło o średnicy 16,25 wpisano trójkąt ostrokątny ABC, w którym BC=15. Miary kątów BAC i ABC tego trójkąta spełniają warunek sinBAC/sinABC=15/13. Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt ABC.

Answer 1

Odpowiedź:

Niech I ∡ BAC I = α ,    I ∡ ABC I = β

a = I BC I  ,   b = I AC I  ,   c =  I AB I

2 R = 16,25      

[tex]\frac{sin \alpha }{sin \beta } = \frac{15}{13}[/tex]                  a  =  I BC I =  15

więc

z tw. sinusów        [tex]\frac{15}{sin \alpha } = \frac{b}{sin \beta }[/tex]

b*sin α = 15*sin β

b =      15*[tex]\frac{sin \beta }{sin \alpha } = 15*\frac{13}{15} = 13[/tex]

----------------------------------------------

oraz    [tex]\frac{15}{sin \alpha } =2 R = 16,25[/tex]

sin α = [tex]\frac{15}{16,25} = \frac{3}{3,25} = \frac{12}{13}[/tex]

cos²α =1 - sin²α = 1 - [tex]\frac{144}{169} = \frac{25}{169}[/tex]

cos α = - [tex]\frac{5}{13}[/tex]

Z  tw.  kosinusów

a² = b² + c² - 2 b*c*cos α

15² = 13² + c² - 2*13*c* ( - [tex]\frac{5}{13}[/tex] ) = 169 + c² + 10 c

c² + 10 c  = 225 - 169 = 56

c² + 10 c - 56 = 0

Δ = 100 - 4*1*(- 56) = 100 + 224 = 324

√Δ = 18

c = [tex]\frac{- 10 +18}{2*1} = 4[/tex]

---------------------------

Mamy : a = 15,    b = 13,  c = 4

P[tex]_{ABC}[/tex] = 0,5*b*c*sin α = 0,5*13*4*[tex]\frac{12}{13}[/tex] =  24 j²

p = ( a + b + c) : 2 = ( 15 + 13 + 4 ) : 2 = 32 : 2 = 16

zatem  korzystając z wzoru

 P  = p*r   otrzymujemy

24 = 16*r

 r =  24 : 16 =  1,5

Odp.    P = π*r² = π*1,5² = 2,25 π

================================

Szczegółowe wyjaśnienie: