Question

Oblicz sinα tg ctg znając cosα = -5/13

Answer 1

[tex]\sin\alpha=\frac{12}{13}\\\\\text{tg\,}\alpha=-\frac{12}5\\\\\text{ctg\,}\alpha=-\frac5{12}[/tex]           lub        [tex]\sin\alpha=-\frac{12}{13}\\\\\text{tg\,}\alpha=\frac{12}5\\\\\text{ctg\,}\alpha=\frac5{12}[/tex]

Obliczyć pozostałe funkcje trygonometryczne

znając jedną z nich, możemy korzystając z podstawowych tożsamości trygonometrycznych:

• [tex]\large\text{$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$}[/tex]   {jedynka trygonometryczna}
• [tex]\large\text{$\text{tg\,}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$}[/tex]  
• [tex]\large\text{$\text{ctg\,}\alpha=\frac{1}{\text{tg\,}\alpha}$}[/tex]  

Zaczynamy od jedynki trygonometrycznej, by wyliczyć wartość sinusa:

[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\\ \sin^2\alpha+\big(-\frac5{13}\big)^2=1\\\\ \sin^2\alpha+\frac{25}{169}=1\\\\ \sin^2\alpha=\frac{144}{169}\\\\\sin\alpha=\frac{12}{13}\qquad\vee\qquad \sin\alpha=-\frac{12}{13}[/tex]

Gdyby w zadaniu była określona ćwiartka, do której należy kąt alfa, to jedno z rozwiązań należałoby wykluczyć. Skoro nie została określona, to będą dwa rozwiązania.

Korzystając z pozostałych dwóch tożsamości obliczamy tangens i cotangens.

[tex]\text{tg\,}\alpha=\dfrac{\frac{12}{13}}{-\frac5{13}}=\frac{12}{13}\cdot\big(-\frac{13}5\big)=-\frac{12}5\\\\\\\text{ctg\,}\alpha=\dfrac1{-\frac{12}5}=-\frac5{12}[/tex]    lub      [tex]\text{tg\,}\alpha=\dfrac{-\frac{12}{13}}{-\frac5{13}}=\frac{12}{13}\cdot\frac{13}5=\frac{12}5\\\\\\\text{ctg\,}\alpha=\dfrac1{\frac{12}5}=\frac5{12}[/tex]