Question

W trójkącie prostokątnym najdłuższy bok ma długość 13, a najkrótszy 5. Cosinus najmniejszego kąta tego trójkąta wynosi
A. 12/13
B. 5/13
C. 5/12
D. 13/12

Proszę o wyjaśnienie

Answer 1

Verified answer

Odpowiedź:

                   [tex]\huge\boxed{\huge\boxed{~~Odp:~~~~A.~~\dfrac{12}{13}~~} }[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Korzystamy:

• Twierdzenie Pitagorasa :  Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych równa jest kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
• cosinusem kąta ostrego  w trójkącie prostokątnym, nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie   do długości przeciwprostokątnej.

Rozwiązanie:

Dane z treści zadania:

• [tex]c=13~[j]~~\Rightarrow[/tex] najdłuższy bok trójkąta prostokątnego ⇒ przeciwprostokątna.
• [tex]a=5~[j]~~\Rightarrow[/tex] długość najkrótszego boku trójkąta prostokątnego ⇒ jedna z przyprostokątnych.

rysunek   ⇒ w załączniku

• korzystając z Twierdzenia Pitagorasa obliczymy drugą przyprostokątną [tex]b[/tex].

[tex]a^{2}+b^{2}=c^{2}~~\land~~c=13~[j]~~\land~~a=5~[j]\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Downarrow\\\\25+b^{2}=169\\\\b^{2}=144~~\land~~b > 0~~\Rightarrow~~\boxed{~~b=12~[j]~~}[/tex]

• obliczymy cosinusy dwóch kątów [tex]\alpha ~~\land~~\beta[/tex].

[tex]I.\\\\cos\alpha =\dfrac{b}{c} ~~\land~~b=12~[j]~~\land~~c=13~[j]\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Downarrow\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{~~cos\alpha =\dfrac{12}{13}~~} \\\\\\II.\\\\cos\beta =\dfrac{a}{c} ~~\land~~a=5~[j]~~\land~~c=13~[j]\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Downarrow\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{~~cos\beta =\dfrac{5}{13}~~}[/tex]

• aby sprawdzić, który kąt ma mniejszą miarę skorzystamy z tablic wartości funkcji trygonometrycznych.

[tex]I.\\\\cos\alpha =\dfrac{12}{13} \\\\cos\alpha \approx0,9230~~\Rightarrow~~\huge\boxed{~~\alpha =23^{o}~~}\\\\\\II.\\\\cos\beta =\dfrac{5}{13} \\\\cos\beta \approx0,4167~~\Rightarrow~~\huge\boxed{~~\beta =67^{o}~~}[/tex]

Wnioski:

• cosinus najmniejszego kąta w tym trójkącie: [tex]cos\alpha =\dfrac{12}{13}[/tex].