Dziedzina funkcji f(x) wynosi R, czyli zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
b) f(x) = (2x)/((x - 3)(x + 1))
Dla x = 3 i x = -1 mianownik ułamka wynosi 0, więc te wartości należy wykluczyć z dziedziny funkcji. Ponadto, ponieważ mianownik jest iloczynem dwóch czynników, to dziedzina funkcji składa się z dwóch przedziałów: (-∞, -1) oraz (-1, 3) ∪ (3, +∞).
c) f(x) = (x + 1)/(x ^ 2 - 9)
Mianownik ułamka wynosi 0 dla x = ±3, więc te wartości należy wykluczyć z dziedziny funkcji. Ponadto, ponieważ mianownik jest różnicą kwadratów, to dziedzina funkcji składa się z trzech przedziałów: (-∞, -3) ∪ (-3, 3) ∪ (3, +∞).
d) f(x) = 5/(x ^ 2 + 10x + 25)
Mianownik ułamka wynosi (x + 5) ^ 2, której wartość nigdy nie jest równa 0. Dlatego dziedzina funkcji wynosi R, czyli zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
e) f(x) = sqrt(x ^ 2 + 9)
Ponieważ pierwiastek kwadratowy zawsze daje wynik nieujemny, to dziedzina funkcji składa się z przedziału (-∞, +∞), czyli wszystkich liczb rzeczywistych.
f) f(x) = 1/(sqrt(8 - 2x))
Mianownik ułamka wynosi 8 - 2x, której wartość musi być większa od 0 (ponieważ pierwiastek kwadratowy zawsze daje wynik nieujemny). Stąd dziedzina funkcji wynosi przedział (-∞, 4).
Zadanie 7:
a) f(x) = 4x - 1/2
Aby znaleźć miejsca zerowe tej funkcji, należy rozwiązać równanie 4x - 1/2 = 0. Otrzymujemy x = 1/8, czyli jedno miejsce zerowe.
b) f(x) = x ^ 2 - 25
Aby znaleźć miejsca zerowe tej funkcji, należy rozwiązać równanie x ^ 2 - 25 = 0. Mamy (x - 5) (x + 5) = 0, czyli dwa miejsca zerowe: x = -5 oraz x = 5.
c) f(x) = x ^ 2 + 4
Ta funkcja nie ma miejsc zerowych, ponieważ x ^ 2 + 4 zawsze jest większe od 0 dla każdej wartości x.
d) f(x) = 2/(2x + 1)
Aby znaleźć miejsca zerowe tej funkcji, należy rozwiązać równanie 2/(2x + 1) = 0. Mamy 2 = 0, co jest sprzecznością. Zatem ta funkcja nie ma miejsc zerowych.
e) f(x) = (2x ^ 2 + 8x)/(x ^ 2 - 16)
Aby znaleźć miejsca zerowe tej funkcji, należy rozwiązać równanie (2x ^ 2 + 8x)/(x ^ 2 - 16) = 0. Licznik ma dwa czynniki wspólne: 2x, więc możemy zapisać tę funkcję w postaci 2x(x + 4)/(x - 4)(x + 4). Teraz widzimy, że ta funkcja ma jedno miejsce zerowe: x = 0.
f) f(x) = (x ^ 2 - 1)/(sqrt(4x + 3))
Aby znaleźć miejsca zerowe tej funkcji, należy rozwiązać równanie (x ^ 2 - 1)/(sqrt(4x + 3)) = 0. Mianownik jest zawsze dodatni, więc równanie sprowadza się do x ^ 2 - 1 = 0. Mamy (x - 1) (x + 1) = 0, czyli dwa miejsca zerowe: x = -1 oraz x = 1. Należy jednak sprawdzić, czy te wartości należą do dziedziny funkcji. Wartości x = -1 i x = 1 spełniają warunek 4x + 3 > 0, czyli należą do dziedziny funkcji.
Verified answer
Zadanie 6:
a) f(x) = 3x - 5
Dziedzina funkcji f(x) wynosi R, czyli zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
b) f(x) = (2x)/((x - 3)(x + 1))
Dla x = 3 i x = -1 mianownik ułamka wynosi 0, więc te wartości należy wykluczyć z dziedziny funkcji. Ponadto, ponieważ mianownik jest iloczynem dwóch czynników, to dziedzina funkcji składa się z dwóch przedziałów: (-∞, -1) oraz (-1, 3) ∪ (3, +∞).
c) f(x) = (x + 1)/(x ^ 2 - 9)
Mianownik ułamka wynosi 0 dla x = ±3, więc te wartości należy wykluczyć z dziedziny funkcji. Ponadto, ponieważ mianownik jest różnicą kwadratów, to dziedzina funkcji składa się z trzech przedziałów: (-∞, -3) ∪ (-3, 3) ∪ (3, +∞).
d) f(x) = 5/(x ^ 2 + 10x + 25)
Mianownik ułamka wynosi (x + 5) ^ 2, której wartość nigdy nie jest równa 0. Dlatego dziedzina funkcji wynosi R, czyli zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
e) f(x) = sqrt(x ^ 2 + 9)
Ponieważ pierwiastek kwadratowy zawsze daje wynik nieujemny, to dziedzina funkcji składa się z przedziału (-∞, +∞), czyli wszystkich liczb rzeczywistych.
f) f(x) = 1/(sqrt(8 - 2x))
Mianownik ułamka wynosi 8 - 2x, której wartość musi być większa od 0 (ponieważ pierwiastek kwadratowy zawsze daje wynik nieujemny). Stąd dziedzina funkcji wynosi przedział (-∞, 4).
Zadanie 7:
a) f(x) = 4x - 1/2
Aby znaleźć miejsca zerowe tej funkcji, należy rozwiązać równanie 4x - 1/2 = 0. Otrzymujemy x = 1/8, czyli jedno miejsce zerowe.
b) f(x) = x ^ 2 - 25
Aby znaleźć miejsca zerowe tej funkcji, należy rozwiązać równanie x ^ 2 - 25 = 0. Mamy (x - 5) (x + 5) = 0, czyli dwa miejsca zerowe: x = -5 oraz x = 5.
c) f(x) = x ^ 2 + 4
Ta funkcja nie ma miejsc zerowych, ponieważ x ^ 2 + 4 zawsze jest większe od 0 dla każdej wartości x.
d) f(x) = 2/(2x + 1)
Aby znaleźć miejsca zerowe tej funkcji, należy rozwiązać równanie 2/(2x + 1) = 0. Mamy 2 = 0, co jest sprzecznością. Zatem ta funkcja nie ma miejsc zerowych.
e) f(x) = (2x ^ 2 + 8x)/(x ^ 2 - 16)
Aby znaleźć miejsca zerowe tej funkcji, należy rozwiązać równanie (2x ^ 2 + 8x)/(x ^ 2 - 16) = 0. Licznik ma dwa czynniki wspólne: 2x, więc możemy zapisać tę funkcję w postaci 2x(x + 4)/(x - 4)(x + 4). Teraz widzimy, że ta funkcja ma jedno miejsce zerowe: x = 0.
f) f(x) = (x ^ 2 - 1)/(sqrt(4x + 3))
Aby znaleźć miejsca zerowe tej funkcji, należy rozwiązać równanie (x ^ 2 - 1)/(sqrt(4x + 3)) = 0. Mianownik jest zawsze dodatni, więc równanie sprowadza się do x ^ 2 - 1 = 0. Mamy (x - 1) (x + 1) = 0, czyli dwa miejsca zerowe: x = -1 oraz x = 1. Należy jednak sprawdzić, czy te wartości należą do dziedziny funkcji. Wartości x = -1 i x = 1 spełniają warunek 4x + 3 > 0, czyli należą do dziedziny funkcji.