100PKT I PROSZE O WYRLUMACZENIE KROK PO KROKU
15. Na zewnątrz okrągłej wieży o promieniu 5 m
postawiono płotek o długości 5 m, będący
przedłużeniem promienia wieży. Na jego końcu
przyczepiono łańcuch z psem. Jakiej długości powinien
być łańcuch, aby pies dosięgnął do każdego punktu
podstawy wieży?
15. Na zewnątrz okrągłej wieży o promieniu 5 m
postawiono płotek o długości 5 m, będący
przedłużeniem promienia wieży. Na jego końcu
przyczepiono łańcuch z psem. Jakiej długości powinien
być łańcuch, aby pies dosięgnął do każdego punktu
podstawy wieży?
Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Podstawą wieży jest 1 punkt, ten w którym styka się z ziemią. Na początku trzeba wyznaczyć długość odcinka od wierzchołka płotka do punktu na okręgu. Jest to fragment stycznej okręgu przechodzącej przez punkt końca płotka, tworzący trójkąt prostokątny. podstawą tego trójkąta jest promień okręgu+płotek,a przyprostokątnymi są łańcuch i promień.
długość tego odcinka obliczamy z twierdzenia pitagorasa
"suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej".
więc... płotek-p
promień-r
pierwszy odcinek łańcucha x1 [tex]x1^{2} +r^{2} =(p+r)^{2}[/tex]
czyli [tex]x1^{2} +25=100[/tex] V [tex]x1^{2} =75[/tex] [tex]x1=\sqrt{75} =5\sqrt{3}[/tex]
następnie obliczamy długość łańcucha po okręgu od końca odcinka x1 aż do punktu styku okręgu z ziemią (czyli do podstawy).
Żeby to wyliczyć należy posłużyć się wzorem na obwód okręgu i obliczyć kąt pomiędzy promieniami do podstawy i do punktu styku łańcucha z okręgiem.:
obwód to [tex]2\pi r[/tex] czyli [tex]10\pi[/tex]
kąt promieni między płotkiem a podstawą to 180°
natomiast stosunek przyprostokątnej r naszego trójkąta do przeciwprostokątnej (p+r) to 5/10 czyli 1/2.
Tak się świetnie składa, że tyle właśnie wynosi cos∡ 60°,
więc i ten kąt musi mieć 60°.
Kąt którego szukamy leży pomiędzy promieniem r trójkąta, a promieniem do podstawy i liczymy go 180°-60°=120°
jeśli obwód jest liczony na 360° bo tyle stopni ma pełny okrąg i wynosi 10[tex]\pi[/tex], a 120° to 1/3 z 360° to długość interesującego nas odcinka x2 wynos i[tex]10\pi /3[/tex] .
Rozwiązaniem zadania jest długość x1+x2 i wynosi: [tex]5\sqrt{3} +10\pi /3[/tex]
Dlatego odpowiedzią na zadanie jest Odpowiedź b.