En álgebra, un binomio es una expresión con dos términos, los cuales tienen variable diferente y están separados por un signo positivo o negativo. Por ejemplo: a + 2b. Cuando hay una multiplicación de binomios, se puede presentar uno de los llamados Productos notables:
Binomio al cuadrado: (a + b)2 , que es lo mismo que (a + b)*(a + b)
Binomios conjugados: (a + b)*(a – b)
Binomios con término común: (a + b)*(a +c)
Binomio al cubo (a + b)3, que es lo mismo que (a + b)* (a + b)* (a + b)
En esta ocasión, hablaremos de los binomios conjugados. Este producto notable es la multiplicación de dos binomios:
En el primero, el segundo término tiene signo positivo: (a + b)
En el segundo, el segundo término tiene signo negativo: (a - b)
Basta con que los dos signos sean diferentes. No importa el orden.
Regla de los binomios conjugados
Cuando dos binomios así se están multiplicando, se va a seguir una regla para resolver esta operación:
Cuadrado del primero: (a)2 = a2
Menos el cuadrado del segundo: -(b)2 = - b2
a2 – b2
Esta regla tan sencilla se comprueba a continuación, multiplicando los binomios en el modo tradicional, término por término:
(a + b)*(a – b)
(a)*(a) = a2
(a)*(-b) = -ab
(b)*(a) = +ab
(b)*(-b) = -b2
Los resultados se reúnen y forman la expresión:
a2 – ab + ab – b2
Al tener signos opuestos, (-ab) y (+ab) se anulan, quedando finalmente:
a2 – b2
Ejemplos de binomios conjugados
Ejemplo 1.- (x + y)*(x – y) = x2 – y2
(x)*(x) = x2
(x)*(-y) = -xy
(y)*(x) = +xy
(y)*(-y) = -y2
Los resultados se reúnen y forman la expresión:
x2 – xy + xy – y2
Al tener signos opuestos, (-xy) y (+xy) se anulan, quedando finalmente:
x2 – y2
Ejemplo 2.- (a + c)*(a – c) = a2 – c2
(a)*(a) = a2
(a)*(-c) = -ac
(c)*(a) = +ac
(c)*(-c) = -c2
Los resultados se reúnen y forman la expresión:
a2 – ac + ac – c2
Al tener signos opuestos, (-ac) y (+ac) se anulan, quedando finalmente:
a2 – c2
Ejemplo 3.- (x2 + y2)*(x2 – y2) = x4 – y4
(x2)*(x2) = x4
(x2)*(-y2) = -x2y2
(y2)*(x2) = +x2y2
(y2)*(-y2) = -y4
Los resultados se reúnen y forman la expresión:
x4 – x2y2 + x2y2 – y4
Al tener signos opuestos, (-x2y2) y (+x2y2) se anulan, quedando finalmente:
x4 – y4
Ejemplo 4.- (4x + 8y2)*(4x – 8y2) = 16x2 – 64y4
(4x)*(4x) = 16x2
(4x)*(-8y2) = -32xy2
(8y2)*(4x) = +32xy2
(8y2)*(-8y2) = -64y4
Los resultados se reúnen y forman la expresión:
16x2 – 32xy2 + 32xy2 – 64y4
Al tener signos opuestos, (-xy) y (+xy) se anulan, quedando finalmente:
16x2 – 64y4
Ejemplo 5.- (x3 + 3a)*(x3 – 3a) = x6 – 9a2
(x3)*(x3) = x6
(x3)*(-3a) = -3ax3
(3a)*(x3) = +3ax3
(3a)*(-3a) = -9a2
Los resultados se reúnen y forman la expresión:
x6 – 3ax3 + 3ax3 – 9a2
Al tener signos opuestos, (-xy) y (+xy) se anulan, quedando finalmente:
x6 – 9a2
Ejemplo 6.- (a + 2b)*(a – 2b) = a2 – 4b2
(a)*(a) = a2
(a)*(-2b) = -2ab
(2b)*(a) = +2ab
(2b)*(-2b) = -4b2
Los resultados se reúnen y forman la expresión:
a2 – 2ab + 2ab – 4b2
Al tener signos opuestos, (-2ab) y (+2ab) se anulan, quedando finalmente:
a2 – 4b2
Ejemplo 7.- (2c + 3d)*(2c – 3d) = 4c2 – 9d2
(2c)*(2c) = 4c2
(2c)*(-3d) = -6cd
(3d)*(2c) = +6cd
(3d)*(-3d) = -9d2
Los resultados se reúnen y forman la expresión:
4c2 – 6cd + +6cd – 9d2
Al tener signos opuestos, (-6cd) y (+6cd) se anulan, quedando finalmente:
Respuesta:
En álgebra, un binomio es una expresión con dos términos, los cuales tienen variable diferente y están separados por un signo positivo o negativo. Por ejemplo: a + 2b. Cuando hay una multiplicación de binomios, se puede presentar uno de los llamados Productos notables:
Binomio al cuadrado: (a + b)2 , que es lo mismo que (a + b)*(a + b)
Binomios conjugados: (a + b)*(a – b)
Binomios con término común: (a + b)*(a +c)
Binomio al cubo (a + b)3, que es lo mismo que (a + b)* (a + b)* (a + b)
En esta ocasión, hablaremos de los binomios conjugados. Este producto notable es la multiplicación de dos binomios:
En el primero, el segundo término tiene signo positivo: (a + b)
En el segundo, el segundo término tiene signo negativo: (a - b)
Basta con que los dos signos sean diferentes. No importa el orden.
Regla de los binomios conjugados
Cuando dos binomios así se están multiplicando, se va a seguir una regla para resolver esta operación:
Cuadrado del primero: (a)2 = a2
Menos el cuadrado del segundo: -(b)2 = - b2
a2 – b2
Esta regla tan sencilla se comprueba a continuación, multiplicando los binomios en el modo tradicional, término por término:
(a + b)*(a – b)
(a)*(a) = a2
(a)*(-b) = -ab
(b)*(a) = +ab
(b)*(-b) = -b2
Los resultados se reúnen y forman la expresión:
a2 – ab + ab – b2
Al tener signos opuestos, (-ab) y (+ab) se anulan, quedando finalmente:
a2 – b2
Ejemplos de binomios conjugados
Ejemplo 1.- (x + y)*(x – y) = x2 – y2
(x)*(x) = x2
(x)*(-y) = -xy
(y)*(x) = +xy
(y)*(-y) = -y2
Los resultados se reúnen y forman la expresión:
x2 – xy + xy – y2
Al tener signos opuestos, (-xy) y (+xy) se anulan, quedando finalmente:
x2 – y2
Ejemplo 2.- (a + c)*(a – c) = a2 – c2
(a)*(a) = a2
(a)*(-c) = -ac
(c)*(a) = +ac
(c)*(-c) = -c2
Los resultados se reúnen y forman la expresión:
a2 – ac + ac – c2
Al tener signos opuestos, (-ac) y (+ac) se anulan, quedando finalmente:
a2 – c2
Ejemplo 3.- (x2 + y2)*(x2 – y2) = x4 – y4
(x2)*(x2) = x4
(x2)*(-y2) = -x2y2
(y2)*(x2) = +x2y2
(y2)*(-y2) = -y4
Los resultados se reúnen y forman la expresión:
x4 – x2y2 + x2y2 – y4
Al tener signos opuestos, (-x2y2) y (+x2y2) se anulan, quedando finalmente:
x4 – y4
Ejemplo 4.- (4x + 8y2)*(4x – 8y2) = 16x2 – 64y4
(4x)*(4x) = 16x2
(4x)*(-8y2) = -32xy2
(8y2)*(4x) = +32xy2
(8y2)*(-8y2) = -64y4
Los resultados se reúnen y forman la expresión:
16x2 – 32xy2 + 32xy2 – 64y4
Al tener signos opuestos, (-xy) y (+xy) se anulan, quedando finalmente:
16x2 – 64y4
Ejemplo 5.- (x3 + 3a)*(x3 – 3a) = x6 – 9a2
(x3)*(x3) = x6
(x3)*(-3a) = -3ax3
(3a)*(x3) = +3ax3
(3a)*(-3a) = -9a2
Los resultados se reúnen y forman la expresión:
x6 – 3ax3 + 3ax3 – 9a2
Al tener signos opuestos, (-xy) y (+xy) se anulan, quedando finalmente:
x6 – 9a2
Ejemplo 6.- (a + 2b)*(a – 2b) = a2 – 4b2
(a)*(a) = a2
(a)*(-2b) = -2ab
(2b)*(a) = +2ab
(2b)*(-2b) = -4b2
Los resultados se reúnen y forman la expresión:
a2 – 2ab + 2ab – 4b2
Al tener signos opuestos, (-2ab) y (+2ab) se anulan, quedando finalmente:
a2 – 4b2
Ejemplo 7.- (2c + 3d)*(2c – 3d) = 4c2 – 9d2
(2c)*(2c) = 4c2
(2c)*(-3d) = -6cd
(3d)*(2c) = +6cd
(3d)*(-3d) = -9d2
Los resultados se reúnen y forman la expresión:
4c2 – 6cd + +6cd – 9d2
Al tener signos opuestos, (-6cd) y (+6cd) se anulan, quedando finalmente:
4c2 – 9d2