10. Podstawą ostrosłupa jest prostokąt. Przekątne podstawy przecinają się w punkcie,
który jest spodkiem wysokości ostrosłupa.
a) Uzasadnij, że wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają taką samą długość,
czyli że jest to ostrosłup prosty.
b) Oblicz objętość tego ostrosłupa, jeśli krawędzie jego podstawy mają długości
6 cm i 8 cm, a suma długości wszystkich krawędzi bryły jest równa 80 cm. WAŻNE!!! DAM NAJ
który jest spodkiem wysokości ostrosłupa.
a) Uzasadnij, że wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają taką samą długość,
czyli że jest to ostrosłup prosty.
b) Oblicz objętość tego ostrosłupa, jeśli krawędzie jego podstawy mają długości
6 cm i 8 cm, a suma długości wszystkich krawędzi bryły jest równa 80 cm. WAŻNE!!! DAM NAJ
Odpowiedź:
a) Ponieważ przekątne podstawy przecinają się w punkcie, który jest spodkiem wysokości ostrosłupa, to oznacza, że każda krawędź boczna tworzy z podstawą kąt prosty. Zatem wszystkie krawędzie boczne mają taką samą długość, a ostrosłup jest prosty.
b) Suma długości wszystkich krawędzi bryły wynosi 80 cm, a każda krawędź boczna ma taką samą długość. Zatem długość każdej krawędzi bocznej wynosi 10 cm (80 cm / 8 krawędzi = 10 cm/krawędź).
Wysokość ostrosłupa jest równe odległości od spodka wysokości do płaszczyzny podstawy. Ponieważ ostrosłup jest prosty, to wysokość jest równa linii prostej łączącej spodek wysokości z środkiem prostokąta podstawy.
Długość przekątnej prostokąta podstawy wynosi pierwiastek z (6^2 + 8^2) = 10 cm. Zatem długość promienia okręgu wpisanego w podstawę jest równe połowie przekątnej, czyli 5 cm.
Wysokość ostrosłupa to linia prosta łącząca środek prostokąta z punktem przecięcia spodka wysokości z płaszczyzną podstawy. Wysokość ta jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Długość wysokości można obliczyć za pomocą twierdzenia Pitagorasa.
Wysokość^2 = (10 cm)^2 - (5 cm)^2 = 75 cm^2.
Wysokość = pierwiastek z 75 = 5 pierwiastków z 3 cm.
Objętość ostrosłupa wynosi 1/3 * pole podstawy * wysokość. Pole prostokąta wynosi 6