W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma dlugość 20, a ściana boczna jest nachylona do podstawy pod kątem, ktorego cosinus jest rowny sqrt(10)/10. Oblicz pole przekroju tego ostroslupa plaszczyzna przechodzaca przez krawedz podstawy i prostopadla do przeciwleglej sciany bocznej. Obliczyłam już, że wysokość ściany bocznej wynosi 10 sqrt10 ale nie wiem jak dalej
P = 108√10
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
to ostrosłup, w którym
Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy
w tym ostrosłupie to kąt między wysokością ściany bocznej, a odcinkiem (a) podstawy prostopadłym do krawędzi podstawy, do której poprowadzono tę wysokość.
Ponieważ podstawa jest kwadratem, to odcinek ten ma długość krawędzi podstawy (20)
Połowa tego odcinka tworzy z wysokością ostrosłupa i wysokością ściany bocznej trójkąt prostokątny {pierwszy rysunek}.
Czyli:
[tex]\cos\alpha=\dfrac{10}{h_s}[/tex]
Stąd:
[tex]\dfrac{\sqrt{10}}{10}=\dfrac{10}{h_s}\qquad/\cdot h_s\sqrt{10}\\\\\\h_s=10\sqrt{10}[/tex]
Przekrój
płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy i prostopadłą do przeciwległej ściany jest trapezem równoramiennym {drugi rysunek}, w którym:
Czyli:
[tex]\cos\alpha=\dfrac{x}{20}\\\\\\\dfrac{x}{20}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}\qquad/\cdot20\\\\\\x=2\sqrt{10}\\\\y=h_s-x=8\sqrt{10}[/tex]
oraz z tw. Pitagorasa:
[tex]h^2+x^2=a^2\\\\h^2+(2\sqrt{10})^2=20^2\\\\h^2=400-40=360\\\\h=6\sqrt{10}[/tex]
Skoro odcinek b jest równoległy do krawędzi podstawy, to "odcięty" przez niego ze ściany bocznej trójkąt jest podobny do całej ściany bocznej ostrosłupa.
Zatem:
[tex]\dfrac ba=\dfrac y{h_s}\\\\\\\dfrac b{20}=\dfrac{8\sqrt{10}}{10\sqrt{10}}\qquad/\cdot20\\\\\\b=16[/tex]
Pole przekroju
[tex]P=\dfrac{a+b}2\cdot h\\\\P=\dfrac{20+16}2\cdot 6\sqrt{10}\\\\\large\text{$\bold{P=108\sqrt{10}}$}[/tex]