Question

1 zadanie. Rozwiąż nierówność x do kwadratu-x-2>0 . 2 zadanie .Funkcję kwadratową daną wzorem f(x)=-2x do kwadratu-12x+1 zapisz w postaci kanonicznej.Podaj zbiór wartości funkcji.

Answer 1

1. x ∈ (-∞, -1) ∪ (2, +∞)

2. f(x) = -2(x + 3)² + 19

Zbiór wartości tej funkcji: (-∞, 19>

Jak rozwiązać nierówność kwadratową?

Aby rozwiązać nierówność kwadratową, na początku musimy znaleźć miejsca zerowe funkcji i ją narysować. Następnie odczytamy z wykresu wszystkie wartości "x" dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie (ponieważ znak nierówności to > 0).

1.

Nierówność kwadratowa, którą mamy rozwiązać ma postać:

x² - x - 2 > 0

Znajdźmy miejsca zerowe funkcji:

[tex]\Delta=b^2-4ac\\\Delta=(-1)^2-4*1*(-2)\\\Delta=1+8\\\Delta=9\\\sqrt{\Delta} =3\\\\x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}= \frac{1+3}{2}=2 \\x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}= \frac{1-3}{2}=-1[/tex]

Narysujmy wykres tej funkcji. Ramiona tej funkcji skierowane będą w górę, ponieważ a > 0. Odczytajmy z wykresu w załączniku argumenty dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie:

1. x ∈ (-∞, -1) ∪ (2, +∞)

Postać ogólna funkcji kanonicznej

W zadaniu mamy podaną funkcję w postaci ogólnej. Musimy ją zapisać w postaci kanonicznej.

Funkcja kanoniczna w postaci ogólnej:

[tex]f(x)=a(x-p)^2+q[/tex]

gdzie:

a - współczynnik stojący przy x²,

p - pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli,

q - druga współrzędna wierzchołka paraboli.

Funkcja kwadratowa w postaci ogólnej ma postać:

f(x) = -2x² - 12x + 1

Obliczmy "p":

[tex]p=\frac{-b}{2a}=\frac{12}{-4}=-3[/tex]

Obliczmy "q":

[tex]q=f(p)=f(-3)=-2*(-3)^2-12*(-3)+1=-2*9+36+1=-18+36+1=19[/tex]

Zapiszmy funkcję w postaci kanonicznej:

f(x) = -2(x + 3)² + 19

Jeżeli:

• a > 0 to zbiorem wartości jest przedział <q, +∞)
• a < 0, to zbiorem wartości jest przedział (-∞, q>

W naszym przypadku a jest ujemne, bo wynosi -2, dlatego zbiorem wartości tej funkcji będzie przedział  (-∞, 19>.

#SPJ1