Mohon dibantu jawab ya ∫(x^2 √(4-x^2 ) dx =……….. ∫dx/√(4-x^2 ) =……………. ∫dx/√(25-16x^2 ) =………. ∫dx/((.... Question from @elisabetsimamora

October 2018 1 100 Report

Mohon dibantu jawab ya
∫(x^2 √(4-x^2 ) dx =………..
∫dx/√(4-x^2 ) =…………….
∫dx/√(25-16x^2 ) =……….
∫dx/((1-x^2)3⁄2) =…………..

Takamori37 Untuk itu gunakan substitusi trigonometri dengan:
Bantuan segitiga untuk mempermudah (Ada di lampiran-lampiran yang tersedia)

Nomor 1.
Pada lampiran:
sin a = x/2
x = 2 sin a
Sehingga:
x² = 4 sin²a

Serta:
x = 2 sin a
dx = 2 cos a da

nantinya akan ada: a = sin⁻¹(x/2)

Serta:
cos a = √[4-x²] / 2
√[4 - x²] = 2 cos a

Yang menyebabkan:
$$\begin{align}\int x^2\sqrt{4-x^2}\, dx&=\int 4\sin^2a(2\cos a)(2\cos a\, da) \\ &=\int 16\sin^2a\cos^2a\, da \\ &=\int (4\sin a\cos a)^2\, da \\ &=\int (2\sin2a)^2\, da \\ &=\int 4\sin^22a\, da \\ &=\int4.\frac{1-\cos4a}{2}\, da \\ &=\int 2-2\cos4a\, da \\ &=2a-\frac12\sin4a+C \end{align}$

Karena:
sin 4a = 2.sin 2a. cos 2a
sin 4a = 4.sin a.cos a.(cos²a - sin²a)
Dari substitusian yang ada:
sin 4a = 4(x/2)(1/2 √[4-x²])((4-x²)/4 - x²/4)
sin 4a = x√[4-x²] (1 - x²/2)
sin 4a = x√[4-x²].1/2 (2-x²)

Menjadikan integral tersebut memiliki hasil:
= 2.sin⁻¹(x/2) - x√[4-x²]/2 . 1/2 (2-x²) + C
= 2sin⁻¹(x/2) - 1/4 x(2-x²)√[4-x²] + C

Untuk no. 2 dan 3 ada rumus umum:
$\boxed{\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-b^2x^2}}=\frac{1}{b}\sin^{-1}\frac{bx}{a}+C}$
Yang menyebabkan:

Nomor 2.
$$\begin{align}\int\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}&=\sin^{-1}\frac{x}{2}+C\end{align}$

Nomor 3.
$$\begin{align}\int\frac{dx}{\sqrt{25-16x^2}}&=\frac14\sin^{-1}\frac{4x}{5}+C\end{align}$

Nomor 4.
Dari lampiran 2.
cos a = √[1-x²]
sin a = x, menyebabkan cos a da = dx

Sehingga:
$$\begin{align}\int\frac{dx}{(1-x^2)^{3/2}}&=\int\frac{\cos a\, da}{\cos^3a} \\ &=\int\frac1{\cos^2a}\, da \\ &=\int\sec^2a\, da \\ &=\tan a+C\end{align}$

Dari segitiga itu, diperoleh:
$$\begin{align}\int\frac{dx}{(1-x^2)^{3/2}}&=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+C\end{align}$

1 votes Thanks 4