Question

1. Uzasadnij ze zbiory [0,3) oraz (0,1) są równoliczne.

2. Uzasanij ze zbiory [1,0] oraz (0,2) są równoliczne

3. Uzasadnij że zbiory [0,4) oraz (0,1] są rownoliczne ​

Answer 1

Odpowiedź:

1. Aby uzasadnić, że zbiory [0,3) oraz (0,1) są równoliczne, musimy znaleźć bijekcję, czyli funkcję, która każdemu elementowi zbioru [0,3) przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru (0,1), i vice versa.

W przypadku tych dwóch zbiorów możemy znaleźć taką bijekcję, która jest funkcją identycznościową. Oznacza to, że każdy element zbioru [0,3) odpowiada dokładnie samemu sobie w zbiorze (0,1), i vice versa. Na przykład, liczba 0,5 z [0,3) odpowiada liczbie 0,5 w (0,1). Podobnie, liczba 0,2 z (0,1) odpowiada liczbie 0,2 w [0,3).

Ponieważ istnieje taka bijekcja, która przyporządkowuje elementy z obu zbiorów jeden do jednego, możemy stwierdzić, że zbiory [0,3) oraz (0,1) są równoliczne.

2. Aby uzasadnić, że zbiory [1,0] oraz (0,2) są równoliczne, musimy również znaleźć bijekcję, czyli funkcję, która każdemu elementowi zbioru [1,0] przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru (0,2), i vice versa.

Jednak w tym przypadku nie możemy znaleźć takiej bijekcji, ponieważ zbiór [1,0] zawiera liczby większe niż 1, podczas gdy zbiór (0,2) zawiera tylko liczby mniejsze niż 2. Oznacza to, że nie można znaleźć takiej funkcji, która by jednoznacznie przyporządkowywała elementy z obu zbiorów.

Zatem nie możemy stwierdzić, że zbiory [1,0] oraz (0,2) są równoliczne.

3. Aby uzasadnić, że zbiory [0,4) oraz (0,1] są równoliczne, musimy znaleźć bijekcję, czyli funkcję, która każdemu elementowi zbioru [0,4) przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru (0,1), i vice versa.

Możemy znaleźć taką bijekcję, która przeskalowuje elementy z obu zbiorów. Na przykład, funkcja f(x) = 0,25x przyporządkowuje każdemu elementowi z [0,4) element odpowiadający mu w (0,1]. Na przykład, liczba 0 z [0,4) odpowiada liczbie 0 w (0,1], liczba 2 z [0,4) odpowiada liczbie 0,5 w (0,1], itd.

Ponieważ istnieje taka bijekcja, która przyporządkowuje elementy z obu zbiorów jeden do jednego, możemy st

wierdzić, że zbiory [0,4) oraz (0,1] są równoliczne.