Question

1. Udowodnijile wynosi potencjał grawitacyjny Ziemi w nieskończoności?

Wiem że 0, ale dlaczego?

2. Udowodnij, ile wynosi potencał grawitacyjny Ziemi w jej środku?

Answer 1

Witaj :)

dane: m, d, R, G

szukane: V∞,  V₀

-------------------------------------

zadanie 1.

Dla r ≥ R  potencjał V' pola grawitacyjnego przedstawia wzór:

V' = - GM/r.......lub po podstawieniu:  M = d*V = 4πR³d/3  gdzie obj. V = 4πR³/3

V' = - 4πGdR³/3r ( zależność hiperboliczna) wynika z podstawowego wzoru na pracę W w polu grawitacyjnym.

Rozpatrując podstawową wersję wzoru na potencjał:

V' = -GM/r widać, że gdy odległość r od środka Ziemi ( ale dla r ≥ R) dąży do nieskończoności r ------> ∞ (czyli mianownik staje się nieskończenie duży), to wartość całego ułamka -GM/r czyli potencjału V dąży do zera po wartościach ujemnych.

Stąd dla r ------> ∞, V' = -GM/r -------> V'∞ = 0.

Ponadto, ponieważ w ∞ siły grawitacji ziemskiej są zerowe, to energia potencjalna Ep innych ciał jest tam zerowa. A z definicji potencjału grawitacyjnego mamy:

V = Ep/m

V∞ = Ep∞/m i jeśli Ep∞ = 0, to

V∞ = 0................c.b.d.o.

 

zadanie 2.

Natomiast dla  0 ≤ r ≤ R zależność ta wygląda już zupełnie inaczej:

V" = - GM[3R²- r²]/2R³ = - 2πdG[3R²- r²]/3 i jest zależnością paraboliczną.

Dla środka planety czyli dla r =0 otrzymujemy:

V"₀ = - 3GM/2R = -2πdGR², co oznacza, że w środku planety potencjał V"₀ = 1,5*GM/R jest 1,5 raza bardziej ujemny niż na powierzchni czyli że w miarę zbliżania się od powierzchni planety do jej środka O potencjał dalej maleje po ujemnych wartościach jeszcze o 50%.

Tak więc potencjał V na powierzchni Ziemi liczony względem zerowego poziomu odniesienia czyli nieskończoności, wynosi:

V = -GM/R = - 6,67*10⁻¹¹Nm²/kg² *6*10²⁴kg/[6,37*10⁶m] = - 6,28*10⁷Nm/kg =

V = - 6,28*10⁷J/kg = - 6,28*10⁷m²/s².

 

W środku Ziemi potencjał (także liczony względem ∞) wynosi:

V"₀ = 1,5 *V = 1,5 *[- 6,28*10⁷Nm/kg] = - 9,42*10⁷Nm/kg = - 9,42*10⁷J/kg =

V"₀ = - 9,42*10⁷m²/s².

 

Semper in altum……………………………………………………………pozdrawiam :)

 Jeśli podoba Ci się to rozwiązanie, możesz uznać je za najlepsze - wówczas otrzymasz zwrot 15% punktów wydanych na to zadanie. W przypadku 1 rozwiązania możesz to zrobić po godzinie od jego dodania.

PS. W razie wątpliwości - pytaj :)