Question

1. Punkty (-4,−1), (1,−1) i (4,3) są kolejnymi wierzchołkami rombu. Jakie współrzędne ma czwarty wierzchołek tego rombu? A. (-3,1) B. (3,-1) C. (1,-3) D. (-1,3) Poproszę o rozwiązanie tylko nie metodą wektorową.​

Answer 1

Odp. D

Romb

Romb jest czworokątem o bokach równej długości. Przekątne rombu przecinają się w połowie pod kątem prostym.

Jeżeli punkty A=(-4, -1), B=(1, -1) i C=(4, 3) są kolejnymi wierzchołkami rombu, to odcinki |AC| i |BD| są przekątnymi rombu.

Aby wyznaczyć czwarty wierzchołek rombu, należy wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez przekątną AC. Wierzchołek D będzie leżał w takiej samej odległości od tej prostej co wierzchołek B.

Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty A i C:

[tex]\underline{+\left\{\begin{array}{ll}-4a+b=-1\\\\4a+b=3\end{array}\right.}\\b+b=-1+3\\\\2b=2\\\\\underline{\bold{b=1}}\\\\4a+1=3\\\\4a=2\\\\\underline{\bold{a=\dfrac12}}\\\\\\\boxed{d_1: y=\dfrac12x+1}[/tex]

Wiemy, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym. Wyznaczmy więc równanie prostej prostopadłej do prostej zawierającej przekątną AC, przechodzącej przez punkt B.

Wiemy, że proste są prostopadłe wtedy, kiedy współczynnik kierunkowy jednej prostej jest odwrotny i przeciwny do współczynnika kierunkowego drugiej prostej, zatem:

[tex]a_{d_1}=\dfrac12\\\\\underline{\bold{a_{d_2}=-2}}[/tex]

Aby wyznaczyć wyraz wolny prostej zawierającej przekątną BD, podstawiamy współczynnik kierunkowy tej prostej oraz współrzędne punktu B do postaci kierunkowej prostej:

[tex]-2\cdot 1+b=-1\\\\-2+b=-1\\\\b=-1+2\\\\\underline{\bold{b=1}}[/tex]

Zapisujemy równanie prostej:

[tex]\boxed{d_2: y=-2x+1}[/tex]

Wyznaczamy punkt przecięcia tych prostych, który będzie środkiem przekątnej zarówno AC jak i BD:

[tex]-2x+1=\dfrac12x+1\\\\-2x=\dfrac12x\\\\-2x-\dfrac12x=0\\\\-\dfrac52x=0\\\\x=0\\\\y=-2\cdot 0+1\\\\y=1\\\\\boxed{S=(0, 1)}[/tex]

Wyznaczamy współrzędne punktu D korzystając ze wzoru na środek odcinka:

[tex]\begin{array}{lll|lll}0=\dfrac{1+x_D}2&|&\cdot 2&1=\dfrac{-1+y_D}2&|&\cdot 2\\&&&\\0=1+x_D&|&-1&2=-1+y_D&|&+1\\&&&&\\x_D=-1&&&y_D=3\end{array}[/tex]

[tex]\boxed{\bold{D=(-1, 3)}}[/tex]