1. Napisz równanie ogólne prostej m równoległej do prostej 3x-4y+√7=0 i przechodzącej przez punkt p (-1, 1)
2. Wyznacz k wiedząc, że prosta l jest prostopadła do prostej m
l : y= -x+3k m " y= (2k-3)x+18
2. Wyznacz k wiedząc, że prosta l jest prostopadła do prostej m
l : y= -x+3k m " y= (2k-3)x+18
Zadanie 1.
Dwie proste są równoległe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe są sobie równe ⇒ a₁=a₂
Zapisujemy równanie prostej w postaci kierunkowej:
[tex]3x-4y+\sqrt{7} =0\\-4y=-3x-\sqrt{7} \\4y=3x+\sqrt{7} \\y=\frac{3}{4} x+\frac{\sqrt{7} }{4}[/tex]
Odczytujemy, że współczynnik ''a'' wynosi 3/4, dlatego funkcja równoległa do niej musi mieć postać:
[tex]y=\frac{3}{4} x+b[/tex]
Podstawiamy dany nam punkt P=(-1,1):
[tex]1=\frac{3}{4} *(-1)+b\\1=-\frac{3}{4} +b\\b=1+\frac{3}{4} \\b=\frac{7}{4}[/tex]
Uzupełniamy wzór funkcji o wartość wyliczonego ''b'':
[tex]y=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}\\0=\frac{3}{4} x-y+\frac{7}{4}/*4\\0=3x-4y+7[/tex]
Zadanie 2.
Dwie proste są prostopadłe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe spełniają zależność:
a₁×a₂=-1
Dla prostej l współczynnik ten wynosi -1, dla prostej m wynosi on 2k-3, dlatego możemy zapisać:
[tex]-1*(2k-3)=-1\\2k-3=1\\2k=4\\k=2[/tex]
Pozdrawiam
1. 3x - 4y + 7 = 0
2. k =2
Proste w układzie współrzędnych.
Równanie ogóle prostej:
[tex]Ax+By+C=0[/tex]
Równanie kierunkowe prostej:
[tex]y=ax+b[/tex]
Równoległość/prostopadłość prostych:
[tex]k:\ A_1x+B_1y+C_1=0\to y=a_1x+b_1\\\\l:A_2x+B_2y+C_2=0\to y=a_2x+b_2[/tex]
[tex]k\ \parallel\ l\iff\left\{\begin{array}{ccc}A_1\cdot B_2-A_2\cdot B_1=0\\a_1=a_2\end{array}\right[/tex]
[tex]k\ \perp\ l\iff\left\{\begin{array}{ccc}A_1\cdot A_2+B_1\cdot B_2=0\\\\a_1\cdot a_2=-1\end{array}\right[/tex]
ROZWIĄZANIE:
Zad.1
Napisz równanie ogólne prostej m równoległej do prostej 3x-4y+√7=0 i przechodzącej przez punkt p (-1, 1).
Mamy prostą:
[tex]k:3x-4y+\sqrt7=0\\\\A=3,\ B=-4,\ C=\sqrt7[/tex]
Szukana prosta ma być równoległa do danej prostej.
W związku z tym jej wstępne równanie ma postać:
[tex]l:3x-4y+C=0[/tex]
Prosta ma przechodzić przez punkt P(-1, 1).
Podstawiamy współrzędne punku P do równania prostej i obliczmy wartość C:
[tex]3\cdot(-1)-4\cdot1+C=0\\\\-3-4+C=0\\\\-7+C=0\qquad|+7\\\\\boxed{C=7}[/tex]
Ostatecznie:
3x - 4y + 7 = 0
Zad.2
Wyznacz k wiedząc, że prosta l jest prostopadła do prostej m
l : y= -x+3k
m: y= (2k-3)x+18
Dane:
[tex]l:y=-x+3k\\\\m:y=(2k-3)+18[/tex]
Proste mają być prostopadłe.
W związku z tym mamy:
[tex]-1\cdot(2k-3)=-1\\\\-2k+3=-1\qquad|-3\\\\-2k=-4\qquad|:(-2)\\\\\boxed{k=2}[/tex]
Dla k = 2 proste m i l są prostopadłe.