Question

1. diketahui suatu trapesium sama kaki ABCD . AB sejajar DC , BC = AD , AB = a, CD = c, dan EF adalah garis simetri yang tegak lurus AB dan CD. jika panjang gaeis EF adalah h, tentukan :
a. letak suatu titik X yang berada pada garis simetri tersebut sedemikian sehingga segitiga BXC = segitiga AXD = 90° .
b. jarak setiap titik X dari AB dan dari CD.

Answer 1

Diketahui:
suatu trapesium sama kaki ABCD
AB sejajar DC
BC = AD
AB = a
CD = c
EF adalah garis simetri yang tegak lurus AB dan CD.
Kita misalkan E pada AB dan F pada CD.
EF = h
Ditanyakan:
a. letak suatu titik X yang berada pada garis simetri EF sedemikian sehingga
sudut BXC = sudut AXD = 90°
b. jarak setiap titik X dari AB dan dari CD.
Jawab:
Perhatikan gambar terlampir.
Misalkan:
CP adalah garis sejajar EF, tegak lurus AB, maka CP = EF = h
BP = ½ (AB – CD) = ½ (a – c)
Untuk segitiga BCP:
BC² = CP² + BP²
        = h² + (1/2 (a – c))²
        = h² + ¼ (a² – 2ac + c²)
        = h² + ¼ a² – ½ ac + ¼ c²

Misalkan pula:
EX = z, sehingga FX = h – z
Untuk segitiga BEX:
BE = ½ AB = ½ a
BX² = BE² + EX² 
        = (1/2 a)² + (z)²
        = ¼ a² + z²
Untuk segitiga CFX:
CF = ½ CD = ½ c
CX² = CF² + FX²
        = (1/2 c)² + (h – z)²
        = ¼ c² + h² – 2hz + z² 
Sudut BXC = 90°, maka untuk segitiga BXC:
BC² = BX² + CX²
↔ h² + ¼ a² – ½ ac + ¼ c² = ¼ a² + z² + ¼ c² + h² – 2hz + z²
↔ -½ ac = 2z² – 2hz
↔ 2z² – 2hz + ½ ac = 0
Bentuk terakhir adalah suatu persamaan kuadrat dalam variabel z dengan nilai koefisien z² = 2, koefisien z = -2h, dan konstanta = ½ ac
Dengan menggunakan rumus abc, kita peroleh:
z₁ = {-(-2h) + √((-2h)² – 4(2)(1/2 ac))}/2(2)
     = {2h + √(4h² – 4ac)}/4
     = {2h + 2√(h² – ac)}/4
     = ½ h + ½ √(h² – ac)
z₂ = {-(-2h) – √((-2h)² – 4(2)(1/2 ac))}/2(2)

     = {2h – √(4h² – 4ac)}/4

     = {2h – 2√(h² – ac)}/4

     = ½ h – ½ √(h² – ac)
Berdasarkan perhitungan di atas:
X berjarak ½ h + ½ √(h² – ac) dari AB (dari titik E)
dan berjarak ½ h – ½ √(h² – ac) dari CD (dari titik F),
atau sebaliknya, yaitu:
X berjarak ½ h – ½ √(h² – ac) dari AB (dari titik E)
dan berjarak ½ h + ½ √(h² – ac) dari CD (dari titik F).

Penjelasan dan perhitungan di atas sekaligus menjawab letak titik X pada EF dan jarak titik X dari AB dan CD.