Question

1. Diberikan himpunan bilangan bulat Z dan himpunan bilangan genap 2Z. Relasi o dari Z ke 2Z didefinisikan dengan o(x) = -2x untuk setiap x € Z. Selidiki apakah merupakan suatu fungsi bijektif dari Z ke 2Z.​

Answer 1

Jawaban:

Untuk menentukan apakah relasi o dari Z ke 2Z merupakan fungsi bijektif, kita perlu memeriksa apakah relasi tersebut memenuhi dua syarat: injektif (one-to-one) dan surjektif (onto).

1. Injektif (one-to-one):

Untuk membuktikan bahwa relasi o adalah injektif, kita perlu menunjukkan bahwa setiap elemen dalam himpunan Z dipetakan ke elemen yang berbeda dalam himpunan 2Z. Dalam hal ini, kita perlu menunjukkan bahwa jika o(x1) = o(x2), maka x1 = x2.

Misalkan o(x1) = o(x2), maka -2x1 = -2x2. Dalam hal ini, kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan -2 (karena -2 bukan nol) sehingga x1 = x2. Oleh karena itu, relasi o adalah injektif.

2. Surjektif (onto):

Untuk membuktikan bahwa relasi o adalah surjektif, kita perlu menunjukkan bahwa setiap elemen dalam himpunan 2Z memiliki pre-image dalam himpunan Z. Dalam hal ini, kita perlu menunjukkan bahwa untuk setiap y dalam 2Z, ada setidaknya satu x dalam Z sehingga o(x) = y.

Misalkan y adalah bilangan genap dalam 2Z. Kita ingin mencari x dalam Z sehingga o(x) = y. Dalam hal ini, kita dapat membagi kedua sisi persamaan o(x) = -2x dengan -2 (karena -2 bukan nol) sehingga x = y/(-2). Karena y adalah bilangan genap, maka y/(-2) juga akan menjadi bilangan bulat. Oleh karena itu, setiap elemen dalam himpunan 2Z memiliki pre-image dalam himpunan Z.

Dengan demikian, relasi o dari Z ke 2Z memenuhi kedua syarat injektif dan surjektif, sehingga relasi o adalah fungsi bijektif dari Z ke 2Z.