Question

1. Construir la parábola. Hallar la ecuación estándar (canónica) y su ecuación general. b) vértice V(4, -1) y foco F(3,-1)​

Answer 1

La ecuación de la parábola en la forma canónica está dada por:

[tex]\large\boxed{ \bold { (y+1)^2= -4\ (x- 4) }}[/tex]

La ecuación de la parábola en la forma general esta dada por:

[tex]\large\boxed{ \bold { y^2+ 2y+ 4x -15 = 0}}[/tex]

Solución

Se tiene la parábola con

Vértice: V (4, -1)

Foco: F (3, -1)

Hallando la ecuación ordinaria de la parábola

Como los valores de y son los mismos empleamos la ecuación de una parábola que se abre hacia la izquierda o hacia la derecha

[tex]\boxed{ \bold { (y-k)^2= 4p\ (x-h) }}[/tex]  

Hallamos la distancia desde el foco hasta el vértice

Restamos la coordenada x del vértice de la coordenada x del foco para hallar p

[tex]\boxed {\bold { p = 3-4 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { p = -1 }}[/tex]

Reemplazamos los valores conocidos en la forma: .

[tex]\boxed{ \bold { (y-k)^2= 4p\ (x-h) }}[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { (y-(1) )^2= 4 \ . \ (-1)\ (x- (4)) }}[/tex]

[tex]\large\boxed{ \bold { (y+1)^2= -4\ (x- 4) }}[/tex]

Habiendo hallado la ecuación canónica de la parábola

Hallamos la ecuación de la parábola en la forma general

La forma general de la ecuación de una parábola que abre a la izquierda o a la derecha, también llamada parábola horizontal esta dada por:

[tex]\large\boxed {\bold {A y^{2}+ By+ Cx+ D = 0 }}[/tex]

Donde la ecuación general de una parábola se obtiene a partir de su ecuación en la forma ordinaria o canónica, desarrollando el binomio  y simplificando la expresión

[tex]\boxed{ \bold { ( y+1)^2= -4\ (x- 4) }}[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { y^2 +2y +1= -4x +16 }}[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { y^2 +2y +1+4x -16 = 0}}[/tex]

[tex]\boxed{ \bold { y^2 +2y+4x +1 -16 = 0 }}[/tex]

[tex]\large\boxed{ \bold { y^2+ 2y+ 4x -15 = 0}}[/tex]

Habiendo hallado la ecuación general de la parábola

Se adjunta gráfico