1. Calcula el límite de las sucesiones siguientes, utilizando la metodología antes estudiada:
a) 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
, …
b) 1,
1
4
,
1
9
,
1
16
,
1
25
, …
c) 2,
5
2
,
8
3
,
11
4
,
14
5
, …
d) 5, 4,
11
3
,
7
2
,
17
5
, …
e)
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
,
1
32
, …
f) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, …
a) 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
, …
b) 1,
1
4
,
1
9
,
1
16
,
1
25
, …
c) 2,
5
2
,
8
3
,
11
4
,
14
5
, …
d) 5, 4,
11
3
,
7
2
,
17
5
, …
e)
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
,
1
32
, …
f) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, …
En cada una de las series matemáticas propuestas, los límites son:
¿Qué es el límite de una sucesión?
El límite de una sucesión es el valor que toma el término de orden 'n' cuando el 'n' tiende a valores muy grandes. Su notación es [tex]\lim_{n \to \infty} a_n[/tex], donde an es el término de orden 'n' y 'n' es el orden en que aparece el término en la serie.
Si nos fijamos en la primera sucesión, podemos establecer una expresión genérica para sus términos de [tex]a_n=\frac{1}{n}[/tex] ya que es [tex]a_2=\frac{1}{2}, a_3=\frac{1}{3},...[/tex], su límite es:
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}=\frac{1}{\infty}=0[/tex]
En cuanto a la segunda sucesión, donde, buscando un patrón en los denominadores, podemos establecerla como [tex]a_n=\frac{1}{n^2}[/tex], entonces queda:
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}=\frac{1}{\infty}=0[/tex]
Si nos vamos a la tercera sucesión, podemos encontrar para los numeradores el patrón [tex]d_n=2+3n[/tex], mientras que el denominador es igual a 'n'. Entonces el límite es:
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{2+3n}{n}=\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n}+\lim_{n \to \infty} \frac{3n}{n}=3[/tex]
Si queremos hallar el patrón de la cuarta serie, podemos hallar las relaciones entre los términos:
[tex]\frac{4}{5}=\frac{4}{5}\\\\\frac{11/3}{4}=\frac{11}{12}\\\\\frac{7/2}{11/3}=\frac{21}{22}\\\\\frac{17/5}{7/2}=\frac{34}{35}[/tex]
Al intentar hallar un patrón en las relaciones entre un término y su anterior tenemos que es:
[tex]a_n=\frac{\frac{3}{2}n^2+\frac{11}{2}n+4}{\frac{3}{2}n^2+\frac{11}{2}n+5}a_{n-1}[/tex]
Lo que da [tex]a_n=(\frac{\frac{3}{2}n^2+\frac{11}{2}n+4}{\frac{3}{2}n^2+\frac{11}{2}n+5})^na_0[/tex], y el límite queda:
[tex]\lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty}=(\frac{\frac{3}{2}n^2+\frac{11}{2}n+4}{\frac{3}{2}n^2+\frac{11}{2}n+5})^n.5==\lim_{n \to \infty}5.e^{n.\frac{\frac{3}{2}n^2+\frac{11}{2}n+4}{\frac{3}{2}n^2+\frac{11}{2}n+5}}=\infty[/tex]
Lo que significa que no existe el límite.
El patrón identificado en la quinta serie nos dice que la misma es [tex]a_n=\frac{1}{2^n}[/tex], al hallar el límite nos queda:
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n}=0[/tex]
En la sexta serie, tenemos el patrón [tex]a_n=\frac{9999...999}{10^n}[/tex], donde el 9 se repite n veces, también la podemos escribir como [tex]a_n=\frac{10^n-1}{10^n}[/tex], el límite queda:
[tex]\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{10^n-1}{10^n}=1[/tex]
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