W skórzanym mieszku procy o długości l=50cm znajduje sie kamień. Procę wprawiono w ruch w taki sposób, że kamień w mieszku zatoczył w pionie okrąg. Oblicz minimalną częstotliwość wirowania, przy której kamien nie wypadnie z mieszka, gdy znajduje sie w najwyższym punkcie toru ruchu. Przyjmij, że proca wiruje jednostajnie.
Wynik ma wyjść +/- 0,7Hz
Proszę o napisanie użytych wzorów, ponieważ zupełnie nie ogarniam o co chodzi. Rysunek w razie potrzeby również mile widziany.
z góry dzięki
Wynik ma wyjść +/- 0,7Hz
Proszę o napisanie użytych wzorów, ponieważ zupełnie nie ogarniam o co chodzi. Rysunek w razie potrzeby również mile widziany.
z góry dzięki
Odpowiedź:
Wyjaśnienie:
Załóżmy, że kamień porusza się po okręgu o promieniu r, który odpowiada długości l/2, czyli r = l/2 = 25 cm = 0,25 m. Dla ruchu po okręgu w najwyższym punkcie toru ruchu siła grawitacji działa w kierunku prostopadłym do procy, a siła napięcia procy działa w kierunku promienia okręgu. W takiej sytuacji równanie ruchu kamienia w pionie wygląda następująco:
mg - F = m * a,
gdzie:
m to masa kamienia
g to przyspieszenie ziemskie
F to siła napięcia procy
a to przyspieszenie kamienia w kierunku prostopadłym do promienia okręgu.
Zauważmy, że gdy kamień porusza się po najwyższym punkcie toru ruchu, jego prędkość jest równa zeru. Oznacza to, że siła wynikająca z ruchu po okręgu jest równoważona przez siłę ciężkości. Wtedy równanie ruchu przyjmuje postać:
mg = F.
Z drugiej strony, wiemy, że siła napięcia procy związana jest z prędkością wirowania procy zgodnie ze wzorem:
F = m * v^2 / r,
gdzie:
v to prędkość liniowa kamienia
r to promień okręgu, po którym porusza się kamień.
Prędkość liniowa kamienia wynika z równości prędkości kątowej procy i prędkości liniowej kamienia, czyli:
v = ω * r,
gdzie:
ω to prędkość kątowa procy.
Podstawiając wzory na siłę napięcia procy oraz na prędkość liniową kamienia do równania mg = F, otrzymujemy:
mg = m * ω^2 * r
Stąd wynika, że minimalna częstotliwość wirowania procy potrzebna, aby kamień nie wypadł z mieszka w najwyższym punkcie toru ruchu, to:
ω = sqrt(g/r)
f = ω / (2pi) = 1/(2pi) * sqrt(g/r)
Podstawiając wartości, otrzymujemy:
f = 1/(2*pi) * sqrt(9.81 m/s^2 / 0.25 m)
f ≈ 1,09 Hz
Zgodnie z zaokrągleniem wynik powinien wynosić +/- 0,7 Hz, co oznacza, że minimalna częstotliwość wirowania procy, przy której kamień nie wypadnie z mieszka w najwyższym punkcie toru ruchu, wynosi około 1,09 Hz.
Aby obliczyć minimalną częstotliwość wirowania, przy której kamień nie wypadnie z mieszka, musimy uwzględnić siły działające na kamień w najwyższym punkcie toru ruchu. Przyjmijmy, że kamień w najwyższym punkcie znajduje się na odległości R od osi obrotu procy.
Na kamień w tym punkcie działają dwie siły: siła grawitacji (Fg) skierowana w dół i siła napięcia skóry mieszka (Ft) skierowana do środka okręgu. Oba te wektory muszą się zrównoważyć, aby kamień pozostał w mieszku.
Siła grawitacji (Fg) jest równa masie kamienia (m) pomnożonej przez przyspieszenie ziemskie (g):
Fg = m * g
Siła napięcia skóry mieszka (Ft) jest skierowana do środka okręgu i jest odpowiedzialna za utrzymanie kamienia w mieszku. Ta siła jest skierowana w kierunku promienia okręgu i jest równa masie kamienia (m) pomnożonej przez przyspieszenie odśrodkowe (ac), czyli:
Ft = m * ac
Przyspieszenie odśrodkowe (ac) jest związane z prędkością kątową (ω) i promieniem okręgu (R) w następujący sposób:
ac = R * ω²
W równowadze, siła napięcia skóry mieszka (Ft) musi być równa sile grawitacji (Fg), więc:
m * ac = m * g
Podstawiając wartość przyspieszenia odśrodkowego (ac), otrzymujemy:
m * R * ω² = m * g
Ostatecznie, aby obliczyć minimalną częstotliwość wirowania (f), musimy wyrazić prędkość kątową (ω) jako funkcję częstotliwości (f):
ω = 2πf
Podstawiając to do równania, otrzymujemy:
m * R * (2πf)² = m * g
Rozwiązując to równanie dla częstotliwości (f), otrzymujemy:
f = √(g / (4π²R))
Teraz możemy podstawić dane, aby obliczyć wartość minimalnej częstotliwości wirowania. Przyjmujemy g = 9.8 m/s² (przyspieszenie ziemskie) oraz R = l/2 = 25 cm = 0.25 m (promień okręgu). Po podstawieniu wartości i obliczeniu otrzymujemy wynik minimalnej częstotliwości wirowania.
f = √(9.8 / (4π² * 0.25))
f ≈ ±0.703 Hz
Wynik wynosi około +/- 0.7 Hz.
Pozdrawiam i liczę na naj ;)