Question

5. Una Heladería ha comprobado que, a un precio de S/.0.50 la unidad, vende una media de 200 helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos helados menos al día. Si el coste por unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta es máximo el beneficio diario que obtiene el heladero? ¿Cuál será ese beneficio?. Sustente Respuesta;

Answer 1

Si el precio por unidad es S/. 0.50 entonces se vende 200 helados
Si el precio por unidad es S/. 0.50 + n(S/. 0.01) entonces se vende 200 - 2n helados

Entonces el beneficio es G(n) = [0.50+n(0.01)](200-2n)
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Si hacemos el mismo razonamiento pero con S/. 0.40 y aumentamos m veces este precio hasta llegar a S/. 0.50 entonces

0.40 + m(0.01) = 0.50
m(0.01) = 0.10
m = 10

luego sumamos a la media de S/. 0.50, que es 200 helados por día, más 2m, esto es que con S/. 0.40 se tiene una media de venta de 220 helados por día

entonces la ganancia o beneficio es

G(m) = (0.40 + 0.01m)(200 - 2m)

Hallemos la ganancia máxima, con el criterio de la primera derivada

G'(m) = (0.40 + 0.01m)' (200 - 2m) + (0.40 + 0.01m)(200 - 2m)'
G'(m) = 0.01(200 -2m) + (0.40 + 0.01m)(-2)
G'(m) = 1.2 - 0.04m

igualamos a cero: 
1.2 - 0.04m = 0
0.04m = 1.2

m = 30

(Ojo que G es una parábola que se abre hacia abajo, por eso no será necesario analizar el crecimiento y decrecimiento de G, ya que el extremo está en el vértice de la parábola)

                                              G(30) = S/. 98.00

Precio (por unidad) de venta máximo: 0.40 + 0.01m === 0.40 + 0.01(30)
                                                     70 céntimos