Question

Znalezc liczby zespolone z spelniajace rownanie prosze o dokladne pokazanie jak to rozwiazac

iz + (1+2i)z = 1+3i nad pierwszym "z" jest taka pozioma kreseczka niestety nie umialam jej napisac

Answer 1

Niech z = a+bi
z z kreseczką, to z sprzężone.

z sprzężone: a-bi , oraz i² = -1 ( i - jednostka urojona)
i(a-bi) + (1+2i)(a+bi) = 1 +2i
ai + b + a+ bi + 2ai - 2b = 1 + 2i
a+b -2b +ai + 2ai + bi = 1 +2i
(a -b) + (3ai + bi) = 1 + 2i
(a-b) + (3a +b) i = 1 + 2i
Porównujemy części rzeczywiste , a następnie urojone
a-b = 1 ----> b = a - 1
3a +b = 2 ---> dodajemy oba równania stronami
---------------
4a = 3
a = 3/4
-----------------------------
b = a-1 = 3/4 - 1 = -1/4
Zatem
z = a + bi = 3/4 - (1/4)i
a - bi = 3/4 +(1/4)i ( z z kreseczką czyli z sprzężone).
Spr.
i(3/4 +1/4i) +(1 +2i)[3/4 - (1/4)i] =
= (3/4)i + (1/4)i² +(3/4) -(1/4)i +(6/4)i + (2/4 )=
= (3/4)i - (1/4) + (3/4) -(1/4)i +(6/4)i +(2/4) =
= 5/4 - 1/4 + (3/4 -1/4 +6/4)i =
= 4/4 + (8/4)i = 1 + 2i