Question

Znajdź trzy liczby tworzace ciąg geometryczny, który ma własnośc: jeśli do drugiej liczby dodamy 8, ciąg zmini sie na arytmetyczny, jeśli do ostatniego wyrazu nowego ciągu dodamy 64, ciąg znów stanie się geometryczny.

Answer 1

C.geometryczny
b₁=b
b₂=bq
b₃=bq²

c.arytmetyczny
a₁=b₁ = b
a₂=b₂+8 =bq+8
a₃=b₃=bq²

c.geometryczny
c₁=b₁=b
c₂=b₂+8=bq+8
c₃=b₃+64=bq²+64

z arytmetycznego
a₂-a₁=a₃-a₂
bq+8-b=bq²-bq-8
bq²-2bq+b-16=0
b(q²-2q+1)-16=0
b(q²-2q+1)=16
q²-2q+1=16/b

z drugiego geometrycznego mamy
c₂:c₁=c₃:c₂
(bq+8):b=(bq²+64):(bq+8)
(bq+8)²=b(bq²+64)
b²q² +16bq+64=b²q²+64b
16bq-64b+64=0
bq-4b+4=0
b(q-4)=-4
b=-4/(q-4)
b=4/(4-q)

podstawiamy to do arytmetycznego
q²-2q+1=16/[4/(4-q)]
q²-2q+1=16*(4-q)/4
q²-2q+1=4*(4-q)
q²-2q+1=16-4q
q²+2q-15=0
Δ=2²-4*(-15)=4+60=64
√Δ=8

q₁=(-2-8)/2=-5
q₂=(-2+8)/2=3

podstawiamy b
b=4/(4-q)
i otrzymujemy dwie możliwości wyrazów tego ciągu
b₁=4/(4+5)=4/9 dla q₁=-5
b₂=4/9*(-5)=-20/9=-2 2/9
b₃=-20/9*(-5) = 100/9=11 1/9

lub

b₁=4/(4-3)=4 dla q₂=3
b₂=4*3=12
b₃=12*3=36