Question

Ziemia ma promień 6370 km. Oszacuj gęstość Ziemi przy założeniu, że średnia wartość
przyspieszenia grawitacyjnego na jej powierzchni jest równa 9,81 . Wykorzystaj jedynie dane przedstawione w treści zadania i powszechnie znane stałe fizyczne.

Answer 1

[tex]Dane:\\R_{z} = 6 \ 400 \ km = 6,4\cdot10^{6} \ m\\g = 9,81\frac{m}{s^{2}}=9,81\frac{N}{kg}\\G = 6,67\cdot10^{-11} \frac{Nm^{2}}{kg^{2}} \ - \ stala \ grawitacji\\Szukane:\\d = ?[/tex]

Rozwiązanie

[tex]mg = G\cdot\frac{M_{z}\cdot m}{R_{z}^{2}} \ \ \ /:m\\\\\frac{GM_{z}}{R_{z}^{2}} = g \ \ \ |\cdot\frac{R_{z}^{2}}{G}\\\\\underline{M_{z} = \frac{gR_{z}^{2}}{G}}\\\\\\d = \frac{M_{z}}{V}\\\\\underline{V = \frac{4}{3}\pi R_{z}^{3}}}[/tex]

[tex]d =\frac{ \frac{gR_{z}^{2}}{G}}{\frac{4\pi r_{z}^{3}}{3}} = \frac{3g}{4\pi GR_{z}}\\\\d = \frac{3\cdot9,81\frac{N}{kg}}{4\cdot3,14\cdot6,67\cdot10^{-11}\frac{Nm^{2}}{kg^{2}}\cdot6,4\cdot10^{6} \ m}=\frac{29,43}{536,16}\cdot10^{5} \ \frac{kg}{m^{3}}\\\\\\\boxed{d \approx0,05489\cdot10 ^{5} \ \frac{kg}{m^{3}} \approx5489\frac{kg}{m^{3}}}[/tex]

Odp. Gęstość Ziemi wynosi około 5489 kg/m³.