Question

Zbadaj liczbę pierwiastków równania x²+2x+|x²+2x|=m
w zależności od parametru m.

Answer 1

N -liczba pierwiastków
x²+2x+|x²+2x| = m
y = x²+2x+|x²+2x|- m
x²+2x = 0
x(x+2)= 0
x = 0
x = -2
x∈(-∞; -2)∪[-2; 0]∪(0;+∞)
1.x∈(-∞; -2)
                    +
y = x²+2x+|x²+2x|-m = 2x²+4x-m
2.x∈[-2; 0]
                     -
y = x²+2x+|x²+2x|- m = x²+2x - (x²+2x)- m = -m
3.x∈ (0;+∞)
             +
y = x²+2x+|x²+2x|- m = 2x²+4x-m
       {2x²+4x-m x∈(-∞; -2)∪(0;+∞)
y  =  
       {-m  x∈[-2; 0]
m = 0 => y = 0 x∈[-2; 0] x = -2;...;0   N = nieskończenie wiele
m < 0 => y > 0 x∈(-∞; -2)∪(0;+∞); y = |m| x∈[-2; 0] => y≠0 x∈(-∞;+∞) => N=0
m > 0 => y =-|m| x∈[-2; 0]; y > 0 x∈(-∞;x₁)∪(x₂;+∞); y<0 x∈(x₁;x₂); y(x₁)=0 y(x₂)=0
N =2