Pierwiastkami trójmianu kwadratowego f(x)=ax²+bx+c są x₁ = -2 i x₂ = 4. Oblicz współczynnik c, jeśli wykres tej funkcji przechodzi przez punkt P(2,-4).
Skoro znamy pierwiastki trójmianu kwadratowego (funkcji kwadratowej) możemy zapisać go w postaci iloczynowej (bez współczynnika a).
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej to:
[tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]
Podstawiamy więc:
[tex]f(x)=a(x-(-2))(x-4)=a(x+2)(x-4)[/tex]
Zapis f(x) to nic innego, jak y, więc funkcję tę można zapisać jako:
[tex]y=a(x+2)(x-4)[/tex]
Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt P(2,-4), a więc przez punkt o współrzędnej x równej 2 i współrzędnej y równej -4. Możemy więc podstawić te dane do powyższego wzoru funkcji w postaci iloczynowej, aby wyznaczyć a:
Pierwiastkami trójmianu kwadratowego f(x)=ax²+bx+c są x₁ = -2 i x₂ = 4. Oblicz współczynnik c, jeśli wykres tej funkcji przechodzi przez punkt P(2,-4).
Skoro znamy pierwiastki trójmianu kwadratowego (funkcji kwadratowej) możemy zapisać go w postaci iloczynowej (bez współczynnika a).
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej to:
[tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]
Podstawiamy więc:
[tex]f(x)=a(x-(-2))(x-4)=a(x+2)(x-4)[/tex]
Zapis f(x) to nic innego, jak y, więc funkcję tę można zapisać jako:
[tex]y=a(x+2)(x-4)[/tex]
Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt P(2,-4), a więc przez punkt o współrzędnej x równej 2 i współrzędnej y równej -4. Możemy więc podstawić te dane do powyższego wzoru funkcji w postaci iloczynowej, aby wyznaczyć a:
[tex]-4=a(2+2)(2-4)\\-4=a \cdot 4 \cdot (-2)\\-4=a \cdot -8\\-4=-8a\\-8a=-4/:(-8)\\a=\frac{4}{8} \\a=\frac{1}{2}[/tex]
Znając a możemy zapisać tę funkcję w pełnej postaci iloczynowej:
[tex]y=\frac{1}{2} (x+2)(x-4)[/tex]
Teraz zamieniamy postać iloczynową funkcji na postać ogólną, mnożąc przez siebie nawiasy:
[tex]y=\frac{1}{2} (x+2)(x-4)=\frac{1}{2} (x^2-4x+2x-8)=\frac{1}{2} (x^2-2x-8)=\frac{1}{2} x^2-x-4[/tex]
Postać ogólna tej funkcji to:
[tex]y=\frac{1}{2} x^2-x-4[/tex]
Odczytujemy współczynniki liczbowe:
[tex]a=\frac{1}{2} \ , b =-1 \ , c = -4[/tex]
odp. Współczynnik c wynosi -4.