Zadanie olimpijskie. Wyznacz natężenie prądu l oraz odpowiadającą mu wartość E2. Dokładniejsza treść.... Question from @Enoth

December 2018 1 13 Report

Zadanie olimpijskie. Wyznacz natężenie prądu l oraz odpowiadającą mu wartość E2. Dokładniejsza treść na załączonym zdjęciu. Dam naj!

aczo Ponieważ nie znamy wartości parametru $\alpha$ , nie możemy obliczyć konkretnych wartości E2 i prądu I. Wiemy jedynie, że parametr ten ma wymiar oporu (jednostką jest om), na podstawie zależności $E_2=\alpha\cdot I\ \ \Rightarrow \alpha=\frac{E_2}{I}[\frac{V}{A}=\Omega]$

Z zasady superpozycji wynika, że wartość prądu w gałęzi z oporem R jest równa sumie prądów wynikających z poszczególnych wymuszeń. Składowa tego prądu zależna od SEM E1 jest stała i wynosi:

$I_{E1}=\frac{E_1}{R_1+\frac{RR_2}{R+R_2}}\cdot \frac{RR_2}{R+R_2}\cdot \frac{1}{R}=\frac{E_1}{R_1+\frac{RR_2}{R+R_2}}\cdot \frac{R_2}{R+R_2}=\\=\frac{E\cdot R_2}{R_1(R+R_2)+RR_2}=\frac{5V\cdot 4\Omega}{2\Omega(2\Omega+4\Omega)+2\Omega\cdot 4\Omega}=\frac{5V\cdot 4\Omega}{20\Omega^2}=1A$

Składowa pochodząca od SEM E2 wynosi z kolei:

$I_{E2}=-\frac{E_2}{R_2+\frac{R_1R}{R_1+R}}\cdot \frac{R_1R}{R_1+R}\cdot \frac{1}{R}=-\frac{E_2}{R_2+\frac{R_1R}{R_1+R}}\cdot \frac{R_1}{R_1+R}=\\=-\frac{E_2\cdot R_1}{R_2(R_1+R)+R_1R}=-\frac{E_2\cdot 2\Omega}{4\Omega(2\Omega+2\Omega)+2\Omega\cdot 2\Omega}=-\frac{E_2\cdot 2\Omega}{20\Omega^2}=-\frac{E_2}{10\Omega}$

Wiemy jednocześnie, że siła elektromotoryczna E2 zależy od wartości prądu I:

$E_2=\alpha\cdot I=\alpha\cdot (I_{E1}+I_{E2})=\alpha\Big(1-\frac{E_2}{10}\Big)$

Na bazie powyższego równania jesteśmy w stanie wyznaczyć wartość SEM E2 w stanie ustalonym w zależności od parametru $\alpha$ :

$E_2=\alpha-\frac{\alpha E_2}{10}$

$10E_2+\alpha E_2=10\alpha$

$E_2(10+\alpha)=10\alpha$

$E_2=\frac{10\alpha}{10+\alpha}$

Mając wartosć SEM E2, możemy wyznaczyć natężenie prądu I w stanie ustalonym:

$I=1A-\frac{E_2}{10\Omega}=1-\frac{\frac{10\alpha}{10+\alpha}}{10\Omega}=1-\frac{\alpha}{10+\alpha}=\frac{10+\alpha-\alpha}{10+\alpha}=\frac{10}{10+\alpha}$

Nota bene do tej samej wartości dojdziemy (i znacznie szybciej) przekształcając zależność $E_2=\alpha\cdot I\ \ \Rightarrow I=\frac{E_2}{\alpha}$

W przypadku odwrócenia polaryzacji źródła $E_2$ wyliczenia są analogicznie, zmienia się jedynie znak w odpowiednich wzorach:

$I_{E2}=\frac{E_2}{R_2+\frac{R_1R}{R_1+R}}\cdot \frac{R_1R}{R_1+R}\cdot \frac{1}{R}=\frac{E_2}{R_2+\frac{R_1R}{R_1+R}}\cdot \frac{R_1}{R_1+R}=\\=\frac{E_2\cdot R_1}{R_2(R_1+R)+R_1R}=\frac{E_2\cdot 2\Omega}{4\Omega(2\Omega+2\Omega)+2\Omega\cdot 2\Omega}=\frac{E_2\cdot 2\Omega}{20\Omega^2}=\frac{E_2}{10\Omega}$

$E_2=\alpha\cdot (I_{E1}+I_{E2})=\alpha\Big(1+\frac{E_2}{10}\Big)$

$E_2=\alpha+\frac{\alpha E_2}{10}$

$10E_2-\alpha E_2=10\alpha$

$E_2(10-\alpha)=10\alpha$

$E_2=\frac{10\alpha}{10-\alpha}$

$I=1A+\frac{E_2}{10\Omega}=1+\frac{\frac{10\alpha}{10-\alpha}}{10\Omega}=1+\frac{\alpha}{10-\alpha}=\frac{10-\alpha+\alpha}{10-\alpha}=\frac{10}{10-\alpha}$

W razie wątpliwości proszę o komentarz.

1 votes Thanks 1