Zadanie dla rozrywki. Oblicz impedancję zastępczą układu ( w załączniku schemat ), jeśli:Konieczne o.... Question from @Lesio100

January 2019 1 57 Report

Zadanie dla rozrywki.
Oblicz impedancję zastępczą układu ( w załączniku schemat ), jeśli:
$R_1 = 1800 \ \Omega \ \ \ \ \ \ \ \ X_{L_1}=200 \ \Omega \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ X_{C_1}= 180\ \Omega \\\\ R_2 = R_3= 50 \ \Omega \ \ \ X_{L_2}=X_{L_3}=50 \ \Omega \ \ \ X_{C_2}= 1414\ \Omega$

Konieczne obliczenia z wykorzystaniem liczb zespolonych.

aczo Rozwiążemy zadanie tak, by nie obliczać piętrowych ułamków w których byśmy się najpewniej pogubili.

Obliczmy impledancję zastępczą równoległego połączenia kondensatora C1 i cewki L1:

$Z_{L1C1}=\frac{jX_{L1}\cdot(-jX_{C1})}{jX_{L1}-jX_{C1}}=\frac{X_{L1}\cdot X_{C1}}{j(X_{L1}-X_{C1})}=\frac{j}{j}\cdot \frac{X_{L1}\cdot X_{C1}}{j(X_{L1}-X_{C1})}=-j\frac{X_{L1}\cdot X_{C1}}{X_{L1}-X_{C1}}=-j\frac{200\Omega\cdot 180\Omega}{200\Omega-180\Omega}=-j\cdot 1800\Omega$

Możemy teraz obliczyć, unikając piętrowych ułamków, impedancję zastępczą połączenia cewki L1, kondensatora C1 oraz opornika R1:

$Z_1=\frac{R_1\cdot Z_{L1C1}}{R_1+Z_{L1C1}}=\frac{1800\Omega\cdot (-j1800\Omega)}{1800\Omega-j1800\Omega}=\frac{1800\Omega\cdot (-j1800\Omega)}{1800\Omega-j1800\Omega}=\\=\frac{-j\cdot 1800\Omega}{1-j}\frac{1+j}{1+j}=\frac{-j^2\cdot 1800\Omega-j1800\Omega}{1^2-(j)^2}=\frac{1800\Omega-j1800\Omega}{2}=900\Omega-j900\Omega$

Mając impedancję Z1, możemy wyznaczyć impedancję całej gałęzi równoległej do kondensatora C2 - jest to szeregowe połączenie impedancji Z1 z opornikami R2,R3 oraz cewkami L2,L3:

$Z_2=Z_1+R_2+R_3+jX_{L2}+jX_{L3}=900\Omega-j900\Omega+50\Omega+50\Omega+j50\Omega+j50\Omega=1000\Omega-j800\Omega$

Impedancja zastępcza całego obwodu jest wypadkową równoległego połączenia kondensatora C2 i impedancji zastępczej Z2. Paradoksalnie, tu naliczymy się najwięcej i to na dość sporych liczbach ;) :

$Z_Z=\frac{Z_2\cdot (-jX_{C2})}{Z_2-jX_{C2}}=\frac{-j1414\Omega(1000\Omega-j800\Omega)}{1000\Omega-j800\Omega-j1414\Omega}=\frac{-j1414\Omega(1000\Omega-j800\Omega)}{1000\Omega-j2214\Omega}\cdot\frac{1000\Omega+j2214\Omega}{1000\Omega+j2214\Omega}=\\=\frac{-j1414\Omega(1000\Omega-j800\Omega)(1000\Omega+j2214\Omega)}{(1000\Omega)^2-j^2(2214\Omega)^2}=\frac{(-j1414000\Omega^2+j^2 1131200\Omega^2)(1000\Omega+j2214\Omega)}{5901796\Omega^2}=\\=\frac{(-j1414000\Omega^2-1131200\Omega^2)(1000\Omega+j2214\Omega)}{5901796\Omega^2}=\\=\frac{-j1414000000\Omega^3-1131200000\Omega^3-j^2 3130596000\Omega^3+j^3 2504476800\Omega^3}{5901796\Omega^2}=\\=\frac{-j1414000000\Omega^3-1131200000\Omega^3+3130596000\Omega^3-j2504476800\Omega^3}{5901796\Omega^2}=\\=\frac{1999396000\Omega^3-j3918476800\Omega^3}{5901796\Omega^2}\approx \boxed{338,7\Omega-j663,9\Omega}$

Drugi sposób wykonania obliczeń, z wykorzystaniem postaci wykładniczej liczby zespolonej:

$Z_2=1000-j800[\Omega]=1280,625\cdot e^{-j38^o39'}$

$-jX_C=X_C\cdot e^{-j90^o}=1414\cdot e^{-j90^o}$

$Z_2-jX_C=1000-j800-j1414=1000-j2214=2429,361\cdot e^{-j65^o41'}$

$Z_Z=\frac{Z_2\cdot (-jX_{C2})}{Z_2-jX_{C2}}=\frac{1280,625\cdot e^{-j38^o39'}\cdot 1414\cdot e^{-j90^o}}{2429,361\cdot e^{-j65^o41'}}=\\=745,3827\cdot e^{j(-38^o39'-90^o+65^o41')}=745,3827\cdot e^{j(-38^o39'-90^o+65^o41')}=\\=745,3827\cdot e^{-j62^o58'}\approx 338,783-j663,944$

4 votes Thanks 2