zadanie 5 ze strony 230:
Narysuj dowolny czworokąt oraz prostą przecinającą jego dwa przeciwległe boki. Skonstruuj czworokąt symetryczny do danego względem narysowanej prostej.
Narysuj dowolny czworokąt oraz prostą przecinającą jego dwa przeciwległe boki. Skonstruuj czworokąt symetryczny do danego względem narysowanej prostej.
Odpowiedź:
A ------- B
| |
| |
| |
D ------- C
|
|
|
|
E
Aby skonstruować czworokąt symetryczny do tego czworokąta względem prostej przecinającej boki AD i BC, wykonaj następujące kroki:
Narysuj odcinek EF równoległy do AD i BC, tak aby był odległy od prostej przecinającej o dowolną wartość.
A ------- B
| |
| |
| |
D ------- C
| |
| |
| |
| |
E ------- F
Wykorzystując cyrkiel, od punktu A narysuj łuk o dowolnym promieniu, który przecina odcinek EF w punkcie G.
A ------- B
| |
| |
| |
D ------- C
| |
| |
| |
G |
E ------- F
Narysuj prostą przecinającą punkty B i G, a także punkty C i G. Oznacz te punkty jako H i I.
A ------- B ------- H
| | |
| | |
| | |
D ------- C ------- I
| |
| |
| |
G |
E ------- F
Wykorzystując cyrkiel i środek w punkcie G, narysuj łuk o tym samym promieniu, który przecina odcinek HI w punkcie J.
A ------- B ------- H
| | |
| | |
| | |
D ------- C ------- I
| | |
| | |
J | |
G ------- K |
E ------- F ------- L
Narysuj prostą przecinającą punkty J i K. Oznacz ten punkt jako M.
A ------- B ------- H
| | |
| | |
| | |
D ------- C ------- I
| | |
| | |
J | |
G ------- K |
E ------- F ------- L
|
|
M
Czworokąt ABCD i czworokąt HICG są podobne, ponieważ mają równoległe boki AD i HC, oraz równoległe boki BC i IG. Ponieważ HICG jest symetryczny do ABCD względem prostej przecinającej boki AD i BC, to możemy wykorzystać tę podobieństwo, aby skonstruować czworokąt symetryczny do ABCD względem prostej przecinającej boki AD i BC.
Aby to zrobić, wykorzystaj podobieństwo trójkątów ADE i JME, które są podobne, ponieważ mają dwa kąty odpowiednio równe (kąty przy wierzchołkach E i M), oraz bok AD proporcjonalny do boku HJ, a bok DE proporcjonalny do boku JM. Możemy wykorzystać tę podobieństwo, aby znaleźć długość odcinka JM, który jest równy długości odcinka DE, czyli jednej ze stron czworokąta ABCD.
Wynika stąd, że stosunek długości boku AD do boku HJ jest równy stosunkowi długości boku DE do boku JM:
AD/HJ = DE/JM
Możemy to przekształcić, aby wyznaczyć długość odcinka JM:
JM = DE * HJ / AD
Odcinek HJ możemy wyznaczyć z podobieństwa trójkątów HIE i ADE, ponieważ mają one dwa kąty odpowiednio równe (kąty przy wierzchołkach E i I), a bok HE proporcjonalny do boku AE, a bok HI proporcjonalny do boku AD. Stosunek długości boku AE do boku AD wynosi 1/2, ponieważ punkt E dzieli odcinek AD na dwie równe części. Wynika stąd, że stosunek długości boku HE do boku HI wynosi również 1/2, czyli HJ jest równy połowie długośc
HJ = 1/2 * HI
Ostatecznie możemy wyznaczyć długość odcinka JM:
JM = DE * HJ / AD = DE * 1/2 * HI / AD
Narysuj prostą przechodzącą przez punkt M i równoległą do prostych przecinających boki AD i BC. Oznacz punkty przecięcia tej prostej z bokami AB i CD jako P i Q.
A ------- B ------- H
| | |
| | |
| | |
D ------- C ------- I
| | |
| | |
J | |
G ------- K |
E ------- F ------- L
|
|
M
|
|
|
P ------- Q
Wykorzystując cyrkiel i środek w punkcie M, narysuj łuk o promieniu równym długości odcinka JM, który przecina prostą PQ w punktach R i S.
A ------- B ------- H
| | |
| | |
| | |
D ------- C ------- I
| | |
| | |
J | |
G ------- K |
E ------- F ------- L
|
|
S M R
|
|
|
Szczegółowe wyjaśnienie: liczę na naj;)
mam nadzieję, że pomogłem