Zadanie 3. Zapisz trójmian w postaci kanonicznej .a) y=2x^{2} + 2x -1b) y= 4x^{2} - 5x - 2c) y= -2x^.... Question from @Krystian1166

Krystian1166 @Krystian1166

September 2018 1 37 Report

Zadanie 3. Zapisz trójmian w postaci kanonicznej .

a) y=2x^{2} + 2x -1

b) y= 4x^{2} - 5x - 2

c) y= -2x^{2} -4x+1

Zadanie 4. Naszkicuj wykres funkcji y=f (x) i wyznacz :

a) Dziedzinę funcji

b)Zbiór wartości funkcji

c) Miejsca zerowe funkcji

d) Wartość najmniejszą i największą funkcji

Jeżeli:

I. y= -x^{2} - 2x

II. y= -2(x+3)^{2} + 2

III. y= x^{2} +6x + 5

IV. y=x^{2} - 4

Roma

Zadanie 3.

Postać kanoniczna: $f(x) = a(x - p)^2 + q$ , gdzie

$p =\frac{-b}{2a}; \ q = \frac{-\Delta}{4a}$

$y = 2x^2 + 2x -1$

$a = 2; \ b = 2; \ c = - 1$

$p =\frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2\cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$q = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-(b^2-4ac)}{4a} = \frac{-b^2+4ac}{4a}= \frac{-2^2+4\cdot 2 \cdot (-1)}{4\cdot 2} = \frac{-4-8}{8}= \frac{-12}{8} =$

$= -1\frac{4}{8} = -1\frac{1}{2}$

$f(x) = 2 \cdot(x +\frac{1}{2})^2 -1\frac{1}{2}$

$y= 4x^2 - 5x - 2$

$a = 4; \ b = - 5; \ c = - 2$

$p =\frac{-b}{2a} = \frac{5}{2\cdot 4} = \frac{5}{8}$

$q = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-(b^2-4ac)}{4a} = \frac{-b^2+4ac}{4a}= \frac{-(-5)^2+4\cdot 4 \cdot (-2)}{4\cdot 4} = \frac{-25-32}{16}=$

$= \frac{-57}{16}= -3\frac{9}{16}$

$f(x) = 4 \cdot(x -\frac{5}{8})^2 -3\frac{9}{16}$

$y= -2x^2 -4x+1$

$a= -2; \ b = -4; \ c = 1$

$p =\frac{-b}{2a} = \frac{4}{2\cdot (-2)} = \frac{4}{-4} = - 1$

$q = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-(b^2-4ac)}{4a} = \frac{-b^2+4ac}{4a}= \frac{-(-4)^2+4\cdot (-2) \cdot 1}{4\cdot (-2)} = \frac{-16-8}{-8}=$

$= \frac{-24}{-8}= 3$

$f(x) = -2 \cdot(x +1)^2 +3$

Zadanie 4.

Dziedzina funcji

Dziedziną funkcji kwadratowej jest cały zbiór liczb rzeczywistych.

$D = \mathbb{R}$

Zbiór wartości funkcji

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej:

- dla a > 0 jest przedział: <q; + ∞)
- dla a < 0 przedział (- ∞; q>

Miejsca zerowe funkcji

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy od wartości wyróżnika Δ = b² - 4ac:

- posiada dwa miejsca zerowe dla Δ > 0
- posiada jedno podwójne miejsce zerowe dla Δ = 0
- nie posiada miejsc zerowych dla Δ < 0

Wartość najmniejszą i największą funkcji

Jeśli a > 0 to wartość najmniejsza jest przyjmowana w wierzchołku paraboli, a jeśli a < 0 to wartość największa jest przyjmowana w wierzchołku paraboli.

$y= -x^2 - 2x$

$a = - 1; \ b = - 2; \ c = 0$

Wykres funkcji

Patrz załącznik

Dziedzina funcji

$D = \mathbb{R}$

Zbiór wartości funkcji

$q = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-(b^2-4ac)}{4a} = \frac{-b^2+4ac}{4a}= \frac{-(-2)^2+4\cdot (-2) \cdot 0}{4\cdot (-1)} = \frac{-4}{-4}= 1$

$a = - 1 < 0$

$ZW = (- \infty; \ 1\rangle$

Miejsca zerowe funkcji

$-x^2 - 2x = 0$

$-x(x +2) = 0$

$-x = 0 \vee x +2 = 0$

$-x = 0 \ / \cdot (-1)$

$x_1 = 0$

$x +2 = 0$

$x_2 = - 2$

Wartość najmniejszą i największą funkcji

$p =\frac{-b}{2a} = \frac{2}{2\cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = - 1$

$q = 1$

$a = - 1 < 0$

$max \{y = -x^2-2 x\} = 1 \ dla \ x = -1$

Funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej.

II.

$y= -2(x+3)^2 + 2$

$a = -2; \ p = -3; \ q = 2$

$y= -2(x+3)^2 + 2 = -2(x^2 + 6x + 9) + 2 = -2x^2 - 12x - 18 + 2=$

$= -2x^2 - 12x - 18 + 2= -2x^2 - 12x -16$

$a = - 2; \ b = - 12; \ c = -16$

Wykres funkcji

Patrz załącznik

Dziedzina funcji

$D = \mathbb{R}$

Zbiór wartości funkcji

$q = 2; \ a = - 2 < 0$

$ZW = (- \infty; \ 2\rangle$

Miejsca zerowe funkcji

$\Delta = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-16) = 144-128= 16; \ \sqrt{\Delta} = 4$

$x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a} = \frac{12-4}{2 \cdot (-2)} = \frac{8}{-4} = - 2$

$x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a} = \frac{12+4}{2 \cdot (-2)} = \frac{16}{-4} = - 4$

Wartość najmniejszą i największą funkcji

$p = - 3; \ q = 2; \ a = - 2 < 0$

$max \{y = -2(x+3)^2+ 3 \} = 2 \ dla \ x = -3$

Funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej.

III.

$y= x^2+6x + 5$

$a = 1; \ b =6; \ c = 5$

Wykres funkcji

Patrz załącznik

Dziedzina funcji

$D = \mathbb{R}$

Zbiór wartości funkcji

$q = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-(b^2-4ac)}{4a} = \frac{-b^2+4ac}{4a}= \frac{-6^2+4\cdot 1 \cdot 5}{4\cdot 1} = \frac{-36+20}{4}= \frac{-16}{4} = - 4$