Question

Zad.29 informator maturalny matematyka ze strony cke zestaw p2
Punkt M leży wewnątrz prostokąta ABCD( rysunek w informatorze)...
z góry dziękuję za rozwiązanie

Answer 1

I sposób:
Zaznaczymy punkty E, F, G w następujący sposób:
E ∈ AB i AB _|_ EM
F ∈ BC i BC _|_ FM
G ∈ CD i CD _|_ GM
Wtedy:
|AE| = |DG|
|CF| = |GM|
|FM| = |BE|
Udowodnić, że: |AM|² + |CM|² = |BM|² + |DM|²
L = |AM|² + |CM|²
P = |BM|² + |DM|²
L = P
Dowód:
L = |AM|² + |CM|² = |AE|² + |EM|² + |CF|² + |FM|² = |EM|² + |FM|² + |AE|² + |CF|²= |EM|² + |BE|² + |DG|² + |GM|² = |BM|² + |DM|² = P
co należało udowodnić

II sposób
Zaznaczymy punkty E, G w następujący sposób:
E ∈ AB i AB _|_ EM
G ∈ CD i CD _|_ GM
Wtedy:
|AE| = |DG| = x
|BE| = |CG| = y
Udowodnić, że: |AM|² + |CM|² = |BM|² + |DM|²
L = |AM|² + |CM|²
P = |BM|² + |DM|²
L = P
Dowód:
L = |AM|² + |CM|² = |AE|² + |EM|² + |CG|² + |GM|² = x² + |EM|² + y² + |GM|² = x² + y² + |EM|² + |GM|²
P = |BM|² + |DM|² = |BE|² + |EM|² + |DG|² + |GM|² = y² + |EM|² + x² + |GM|² = x² + y² + |EM|² + |GM|²
L = P
co należało udowodnić