Question

Zad.1

Wykaż że proste o równaniach -3x+2y-1=0 i 6x-4y+15 nie mają punktów wspólnych.

Zad.2

Wykaż że punkty A=(1,-3),B=(-2,-9),C=(4,3) są współliniowe.

Zad.3

Wykaż że prosta k przechodząca przez punkty A=(1,-5),B=(-1,3) jest prostopadła do prostej l o równaniu y=¼x+2.

Zad.4

Wykaż że ciąg o wyrazie ogólnym an=-½n-1 jest arytmetyczny.

Zad.5

Dany jest ciąg (¾,x,pięć siódmych+2x).Wykaż że nie istnieje taka liczba x aby ten ciąg był arytmetyczny.

Zad.6

Ciąg (-4,x,x+¾) jest geometryczny.Wyznacz liczbę x.

Answer 1

Witaj,

Rozwiazanie:

Zadanie 1:

UKŁAD RÓWNAŃ:

-3x+2y-1=0

6x-4y+15=0

2y = 1 + 3x

-4y = -16-6x

y = 1,5x + 0,5

y = 1,5x + 4

Proste są do siebie równoległe, gdy współczynnik a jest taki sam. W tym wypadku a1=a2=1,5 więc proste są równoległe z a tego wynika, że nie przecinają się w żadnym więc nie mają punktów wspólnych

Zadanie 2:

A=(1,-3),B=(-2,-9),C=(4,3)

Poprowadźmy prostą przez punkt A i B pierw:

UKŁAD RÓWAŃ:

-3 = a + b

-9 = -2a + b

 

b= -3 -a

-9 = -2a + b

 

b= -3 -a

-9 = -2a -3 -a

 

b= -3 -a

-6 = -3a

 

b= -5

a= 2

y=ax +b

y=2x -5

 

Teraz sprawdźmy czy punkt należy do tej prostej

3 = 8 - 5

3=3

0=0

Punkt należy do prostej

 

Punkty A,B i C są współliniow.

 

Zadanie 3:

Pierw napiszmy prostą przechodzącą przez  A=(1,-5),B=(-1,3)

UKŁAD RÓWNAŃ:

-5=a +b 

3=-a +b

 

b=-a-5 

3=-a +b

 

b=-a-5 

3=-a -a -5

 

b=-a-5 

8=-2a

 

b=-a-5 

a = -4

 

b=-9

a=-4

y=ax+b

y=-4x - 9

 

Proste są prostopadłe gdy a1 * a2 = -1

nasze a1 = -4; a2=1/4

-4 * 1/4 = -1

Tak więc proste są prostopadłe.

 

Zadanie 4

an = (-1/2)n - 1

an = -0,5n -1

a(n+1) = (-1/2)(n+1) - 1

a(n+1) = -0,5n -1,5 

a(n+1) - an = -0,5n -1,5 +0,5n +1 = 0,5

Z tego wynika, że ciag jest arytmetyczny

(Ciąg nie jest arytmetyczny gdy zostanie n w różnicy dwóch kolejnych wyrazów)

 

 

Zadanie 5

3/4;     x;     5/7+2x; 

x - 3/4 = 5/7+2x - x

x - 3/4 = 5/7 +x

0 = 5/7+3/4

0 = 41/28

sprzeczność

Nie istnieje taki ciąg arytmetyczny o tych wyrazach.

 

Zadanie 6

-4;     x;     x+3/4

x/(-4) = (x+3/4)/x

x^2 = -4x -3

x^2 + 4x + 3 = 0

Δ= 16 - 12 = 4

pierΔ = 2

x1 = -3

x2 = -1

 

dla x=-3

-4; -3;-9/4 - jest to ciąg geom.

 

dla x=-1

-4, -1, -1/4 - jest to ciąg geom.

 

Liczba x to x=-3 oraz x=-1

 

 

Mam nadzieję, że pomogłem :) Pozdrawiam!