Question

Zad.1Pole prostokąta wynosi 30 cm2.Stosunek długości jego boków wynosi 1:2.Oblicz obwód tego prostokąta.

Zad.2Wysokość trójkąta równobocznego jest równa 8√3.Oblicz pole tego trójkąta.

Zad.3 Oblicz obwód i pole trapezu prostokątnego,w którym kąt prosty ma miarę 30 stopni,dłuższa podstawa ma 13cm,a krótsza 7 cm.

Zad.4 Nalekcję matematyki trzeba przynieś trójkąt foremny wycięty z kolorowego papieru.Beata ma papier w kształcie koła o promieniu 6cm.Jaki największy trójkąt może wyciąć z tego papieru?

Z góry dziękuję za pomoc,i proszę aby odpowiedzi były w miarę zrozumiałe i były mniej więcej na poziomie gimnazjum(czyli twierdzenie pitagorasa itp).Pozdrawiam.

Answer 1

zad 1

a - dłuższy bok prostokąta

b - krótszy bok prostokąta

b/a = 1/2

a = 2b

a * b = 30 za a wstawiamy 2b

2b * b = 30

b² = 30/2 = 15

b = √15 cm

Ponieważ a = 2b więc a = 2 * √15 = 2√15 cm

obwód prostokąta = 2(a + b) = 2(2√15 cm + √15 cm) = 2 * 3√15 cm = 6√15 cm

zad 2

oznaczmy przez a bok trójkąta równobocznego

wysokość w trójkącie równobocznym o boku a

h = a√3/2

h = 8√3 (podano w zadaniu) więc

8√3 = a√3/2

2 * 8√3 = a√3

a - bok trójkąta = 2 * 8√3/√3 = 2 * 8 = 16

P - pole trójkąta = ah/2 = 16 * 8√3 = 128√3

zad 3

a - dłuższa podstawa = 13 cm

b - krótsza podstawa = 7 cm

α - kąt ostry = 30°

h - wysokość trapezu = ?

c - ramię trapezu = ?

Narysuj sobie ten trapez i zaznacz wysokość opuszczoną z wierzchołka przy którym jest kąt rozwarty

Rozpatszymy trójkąt prostokątny powstały z ramienia trapezu , wysokości i odcinka dłuższej podstawy który ma wymiary a - b

a - b = 13 cm - 7 cm = 6 cm

Jeżeli rozpatrzymy ten trójkąt prostokątny zgodnie z własnościami trójkąta o kątach ostrych 30° i  60° na poziomie gimnazjum to

(a - b) = c√3/2

6 = c√3/2

6 * 2 = c√3

c - ramię trapezu = 12/√3 cm = 12√3/3 cm = 4√3 cm

Natomiast wysokość h zgodnie z własnościami tego trójkąta = c/2 = 4√3/2 = 2√3 cm

P - pole trapezu = (a + b) * h/2 = (13 + 7) * 2√3/2 = 20√3 cm²

obwód = a + b + c + h = 13 cm + 7 cm + 4√3 cm + 2√3 cm = 20 + 6√3 cm = 2(10 + 3√3)cm

zad 4

Trójkąt foremny jest trójkątem równobocznym

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku a

R - promień okręgu opisanego = 2/3 * h(wysokośc trójkąta równobocznego)

h = a√3/2

R  = 2/3 * a√3/2 = a√3/3

Ponieważ R jest podane = 6 cm więc

6 = a√3/3

3R = a√3

a - bok trójkąta = 3R/√3 = 3 * 6/√3 = 18/√3 = 18√3/3 = 6√3 cm

Może wyciąć trójkąt równoboczny o boku 6√3 cm