Question

Zad. 1.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ma 30 stopni. Oblicz pole całkowite ostrosłupa, wiedząc że krawędź podstawy ma 5√3 cm.

Zad.2. Wysokość czworościanu foremnego wynosi 10√6. Oblicz pole całkowite i objętość tego czworościanu.

Zad.3.
Promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równy 8 cm. Kąt między wysokością, a krawędzią boczną ostrosłupa wynosi 45 stopni. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Answer 1

Zad1a=5√3
z wlasnosci kata ostrego 30stopni wynika zaleznosc
 H√3=1/2d
H√3=5√3/2   /·2
2H√3=5√3   /:√3
2H=5H=5/2
2H=h
h=2·5/2=5
Pp=a²=(5√3)²=75 j²
Pb=4·1/2ah=2ah=2·5√3·5=50√3 j²
Pc=Pp+Pb=75+50√3=25(3+2√3)  j²
V=1/3Pp·H=1/3·75·5/2=375/6=125/2=62½ j³
--------------------------------------------------------------------------------------
zad2
kraw,podstawy czworoscianu =a
wysokosc podstawy=h
wysokosc szukana  bryly =H
2/3h=2/3·a√3/2=a√3/3
z pitagorasa liczymy wzor na wysokosc czworoscianu foremnego :

(a√3/3)²+H²=a²
3a²/9+H²=a²
1/3a²+H²=a²
H²=a-1/3a²
H²=2/3a²
H=a√(2/3)=a(√2·√3)/3=a√6/3
wiadomo ze: H=10√6
czyli 
wzor na H=a√6/3
10√6=a√6/3
a√6=3·10√6
a√6=30√6   /:√6
a=30
P=4a²√3/4=a²√3=30²√3=900√3 j²
V=a³√2/12=30³√2/12=27000√2/12=2250√2 j³

zad3
r=8
r=2/3h=2/3·a√3/2=a√3/3
8=a√3/3
a√3=3·8
a√3=24
a=24/√3=8√3 
z wlasnosci kata 45stopni wynika
:2/3h=H
r=H
H=8--->dl,wysokosci ostroslupa
H√2=b
b=8√3 -->dl,kraw,bocznej 

Pp=a²√3/4=(8√3)²·√3/4=192√3/4=48√3 cm²
V=1/3Pp·H=1/3·48√3·8=128√3 cm³