Question

Z cyfr 1,2,3,4,5,6,7,8,9 tworzymy wszystkie mozliwe liczby trzycyfrowe o różnych cyfrach. Jaka jest suma tych liczb?

Answer 1

Wszystkich takich liczb trzycyfrowych mozemy utworzyc na 9*8*7=504 sposobow.

 

Dla kazdej z tych liczb istnieje inna liczba, ktorych cyfry setek, dziesiatek i jednosci dopelniaja sie do 10,  np. 745 i 365.

Stad takich par liczb jest 504:2=252

Suma liczb jednej pary 10*100+10*10+10=1110.

Szukana suma liczb:

S=252*1110=279720

Answer 2

 

 

Liczbę takich liczb możemy policzyć w taki sposób:

 

-cyfrę setek wybieramy na 9 sposobów

-cyfrę dziesiątek na 8 sposobów

-cyfrę jedności na 7 sposobów czyli na:

 

9 x 8 x 7 = 504 sposoby

 

Można zauważyć też fakt, że np. 111 i 999 dają sumę 1110, podobnie 112 i 998 też dają taką sumę itd. więc takich par będzie 252. Każda para daje sumę 1110 więc nasza szukana suma to 252 x 1110 = 279720

 

Ciekawe jest też to, że liczby

 

123

234

345

456 itd oraz liczby

 

321

432

543 itd oraz

 

213

324

435 idt oraz

 

132

243

354 itd

 

Wszystkie te liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 111

 

Suma wyrazów ciągu pierwszego to 3192

Suma wyraców ciągu drugiego to 4578

Suma wyrazów ciągu trzeciego to 3948

Suma wyrazów ciągu czwartego to 3822

 

Liczb w tych ciągach jest 28 a wiemy, że da się ich utworzyć 504 więc sumę sum tych ciągów musimy pomnozyć przez 18

 

(3192 + 4578 + 3948 + 3822) x 18 = 15540 x 18 = 279720 czyli tak jak wyszło na pocżatku

 

 

 

 

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Litterarum radices amarae sunt, fructus iucundiores

 

Pozdrawiam :)